一元二次方程考點聚焦

一元二次方程是中考的一個重點內(nèi)容，中考的熱點知識主要有：（1）一元二次方程基本概念、解法；（2）一元二次方程的根的判別式；（3）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（又稱韋達定理）；（4）一元二次方程的根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系綜合應(yīng)用；（5）一元二次方程的應(yīng)用.

對一元二次方程的考查，新課標(biāo)降低了計算上的難度，但增加了開放性、增強了靈活性，能夠較好地考查同學(xué)們在基本知識、基本技能和基本解題思路方面的掌握情況.考試題型多以填空、選擇、解答題為主.下面就其常見的如下考點，舉例剖析.

考點一、一元一次方程基本概念

例1（08年云南省考題）關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一個根是0，則a的值為（）.

A.1B.-1C.1或-1D.

分析：因為方程的一個根為0，

所以a2-1=0，a=±1，

當(dāng)a=1時，二次項系數(shù)a-1=0，舍去，

故a=-1，答案選B.

評注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定義中，要特別注意a≠0的條件.

考點預(yù)測：已知二次方程的一個根，求方程中待定字母的值，綜合考查方程的概念和方程解的概念，是二次方程的重要考點之一.

考點二、一元二次方程的解法

例2（08年江西省考題）一元二次方程x（x-1）=x的解是 ．

分析：運用因式分解法解方程.

解：原方程變形得x（x-1）-x=0，

分解得x（x-2）=0，

解得x1=0，x2=2，

評注：本題容易導(dǎo)致誤解的是，方程兩邊同除以x，產(chǎn)生失根.

考點預(yù)測：解關(guān)于二次項系數(shù)含有字母的一元二次方程．

考點三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

例3（08年長沙市考題）當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-=0有兩個相等的實數(shù)根？此時這兩個實數(shù)根是多少？

分析：方程有兩個相等的實數(shù)根，其判別式等于0.

解：由題意得，Δ=（-4）2-4（m-）=0，

即16-4m+2=0，m=，

當(dāng)m=時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=2．

評注：掌握方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵.

考點預(yù)測：由二次方程根的判別式并綜合根與系數(shù)的關(guān)系求二次方程中的參數(shù)字母的值，是二次方程的重要考點.

考點四、分式方程的解法

例4（08年瀘州市考題）方程+=2的解x=.

分析：本題最簡公分母是x2-1，根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同乘以最簡公分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出的解必須代入最簡公分母檢驗，使最簡公分母為0的根是增根.

解：去分母，得：

x+1+2x（x-1）=2（x2-1），

即-x=-3，

解得x=3，

經(jīng)檢驗x=3是方程的根，

∴原方程的根是x=3.

評注：解分式方程一般用去分母的方法，方程兩邊同乘以最簡公分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，將求得的根代入最簡公分母檢驗，驗根是必不可少的步驟，因為在去分母的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍.

考點預(yù)測：一類可化為一元二次方程的分式方程的解法是中考中的常見題型，這類題在歷年的中考中屢見不鮮，分值一般在3~6分.

考點五、方程與函數(shù)的綜合

例5（08年北京市考題）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m>0）．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1

（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2m．

分析：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明方程根的判別式大于0

解：（1）證明： mx2-（3m+2）x+2m+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，

∴Δ=[-（3m+2）]2-4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2，

當(dāng)m>0時，（m+2）2>0，即Δ>0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：由求根公式，得x=，

∴x=或x=1，

m>0，∴=>1，

x1

∴y=x2-2x1=-2×1=，

即y=（m>0）為所求；

（3）解：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出y=（m>0）與y=2m（m>0）的圖象．

由圖象可得，當(dāng)m≥1時，y≤2m．

評注：本題中的第（1）問是常規(guī)性問題；（2）求出方程的兩個根，建立y與m之間的關(guān)系，即反比例函數(shù)關(guān)系；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合考慮問題.

考點預(yù)測：一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程；二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)y=0時即為一元二次方程，以此方程與函數(shù)圖象之間往往可以實施轉(zhuǎn)化.

考點六、一元二次方程的應(yīng)用

例5（08年廣東省肇慶市考題）在四川省發(fā)生地震后，成都運往汶川災(zāi)區(qū)的物資須從西線或南線運輸，西線的路程約800千米，南線的路程約80千米，走南線的車隊在西線車隊出發(fā)18小時后立刻啟程，結(jié)果兩車隊同時到達．已知兩車隊的行駛速度相同，求車隊走西線所用的時間.

分析：本題的等量關(guān)系是“走南線的車隊與走西線的車隊行進的速度相同”.

解：設(shè)車隊走西線所用的時間為x小時，依題意得：

=，

解這個方程，得：

x=20，

經(jīng)檢驗，x是原方程的解．

答：車隊走西線所用的時間為20小時．

評注：解分式方程的一般步驟是分析題意，列方程、解方程、檢驗，作答；其中檢驗是必不可少的步驟.

考點預(yù)測：列方程解應(yīng)用題，能較為全面考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力.命題者常常以關(guān)注的社會焦點熱點問題為背景，賦有時代氣息，是中考的導(dǎo)向.