一道

從不同的角度去思考同一個問題，有助于培養良好的思維習慣，加強思維的靈活性，不斷提高分析問題和解決問題的能力.下面僅以一道“燕尾”形幾何題為例予以分析，希望對同學們的學習有所幫助.

題目：如圖1，探索∠A、∠B、∠C、∠BPC四個角之間的數量關系.

一、運用外角進行轉化

方法1：如圖2，連接AP并延長至點D，

∵∠1=∠B+∠3，∠2=∠C+∠4，

∴∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4，

∴∠BPC=∠BAC+∠B+∠C，

方法2：如圖3，延長BP交AC于點E，

∵∠1=∠A +∠B，

又∵∠BPC=∠1+∠C，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C.

二、運用三角形內角和進行轉化

方法3：如圖4，連接BC，

∵在△PBC中：∠2+∠BPC+∠3=180°，

∴∠2+∠3=180°-∠BPC，

在△ABC中：∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠A+∠1+（180°-∠BPC）+∠4=180，°

∴∠BPC=∠A+∠1+∠4.

方法4：如圖5，連接AP，

∵在△PAB中：∠1+∠B+∠APB=180°，

∴∠1+∠B=180°-∠APB，

同理可得：∠2+∠C=180°-∠APC，

∴∠1+∠B+∠2+∠C=360°-（∠APB+∠APC），

即∠BPC=∠BAC+∠B+∠C.

方法5：如圖6，過點P作直線MN，分別交AB、AC于點M、N，

在△AMN中：∠A+∠1+∠3=180°，

∵∠1=∠B+∠2、∠3=∠C+∠4，

∴∠A+∠B+∠2+∠C+∠4=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°-（∠2+∠4）=∠BPC，

即：∠BPC=∠A+∠B+∠C.

三、構造平行線進行轉化

方法6：如圖7，過點P作PK∥AB，交AC于點K ，

∵PK∥AB，

∴∠1=∠A，∠2=∠B，

∵∠3=∠1+∠C，

∴∠3=∠A+∠C，

∴∠BPC=∠2+∠3=∠A+∠B+∠C，

四、運用凹四邊形內角和直接轉化

方法7：如圖8，在凹四邊形ACPB中，

∵∠A+∠B+∠1+∠C=360°，

又∵∠1+∠BPC=360°，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C.