“球類”運(yùn)動中的拋物線

球類運(yùn)動是同學(xué)們既熟悉又喜愛的體育運(yùn)動。此類運(yùn)動中隱含著許多數(shù)學(xué)知識，其中包括我們學(xué)過的二次函數(shù)、拋物線等相關(guān)內(nèi)容.現(xiàn)列舉幾例在08年中考中曾出現(xiàn)過的典型試題，供同學(xué)們參考.

一、以投擲“鉛球”為背景的二次函數(shù)應(yīng)用問題

例1（濟(jì)南市考題）小明代表班級參加校運(yùn)動會的鉛球項目，他想：“怎樣才能將鉛球推得更遠(yuǎn)呢？”于是找來小剛作了如下探索：小明手持鉛球在控制每次推出時用力相同的條件下，分別沿與水平線成30°、45°、60°方向推了3次.鉛球推出后沿拋物線形運(yùn)動，如圖1，小明推鉛球時的出手點(diǎn)距離地面2m，以鉛球出手點(diǎn)所在豎直方向?yàn)閥軸，以地平線為x軸建立直角坐標(biāo)系，分別得到的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

（1）請你求出表格中兩橫線上的數(shù)據(jù)，寫出計算過程，并將結(jié)果填入表格中的橫線上；

（2）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對如何將鉛球推得更遠(yuǎn)提出你的建議.

解：本題以“體育活動中鉛球投擲的遠(yuǎn)近”為課題，將實(shí)際問題抽象成了二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，而且已有二次函數(shù)的解析式的雛形，只要用待定系數(shù)法且明確出手點(diǎn)（0，2）在拋物線上，問題便迎刃而解.至于求鉛球落點(diǎn)到小明站立處的水平距離只需令所求拋物線的解析式中的y2=0，求得到拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.

（1）觀察表格提供的信息有與水平成30°、60°的方向投擲鉛球軌跡（拋物線）的解析式及鉛球投擲的最高點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離，讓同學(xué)們探究沿45°方向投擲時行走的軌跡（拋物線）的解析式及鉛球投擲的最大水平距離.我們可設(shè)“推鉛球的方向與水平線成45°角”時形成的拋物線的解析式為y2=a（x-4）2+3.6，又因?yàn)槌鍪贮c(diǎn)（0，2）在拋物線上，故有16a+3.6=2，解得a=-0.1.欲求鉛球落點(diǎn)到小明站立處的水平距離，即求當(dāng)y2=0時與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因而有-0.1（x-4）2+3.6=0，解得x1=-2（舍去），x2=10，所以鉛球落點(diǎn)到小明站立處的水平距離為10米.

二、以“羽毛球”為背景的二次函數(shù)應(yīng)用問題

例2（山西省考題）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一枚十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離S（米）與其地面高度h（米）之間的關(guān)系式為h=-S2+S+.如圖2，已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5米，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為米，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失誤，則m的取值范圍是.

解：此題是以羽毛球?yàn)檩d體創(chuàng)設(shè)的二次函數(shù)的應(yīng)用問題，本題已知羽毛球飛行的水平距離S（米）與其地面高度h（米）之間的關(guān)系式為h=-S2+S+，我們不妨先求出當(dāng)乙扣球的最大高度為米剛剛觸及羽毛球時，乙對應(yīng)的橫坐標(biāo)值. 列方程得-m2+m+=，解得m1=4-，m2=4+.根據(jù)二次函數(shù)h=-m2+m+在對稱軸m=4的右側(cè)h隨m的增大而減小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度”， 所以m<4+ ，另一方面乙站在球網(wǎng)的右側(cè)因而m> 5，故m的取值范圍為5

三、以“足球”為背景的二次函數(shù)應(yīng)用問題

例3（新疆建設(shè)兵團(tuán)考題）如圖3，足球場上守門員在O處開一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運(yùn)動員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.

（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式；

（2）足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米？（取4=7）

（3）運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米？（取2 =5）

解：（1）由題意可知，足球開始飛出到第一次落地，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），故可設(shè)相應(yīng)拋物線的解析式為y=a（x－6）2+4，又因?yàn)殚_出點(diǎn)A（0，1）在拋物線上，故有36a+4=1，解得a=-，故拋物線的解析式為y=-x2+x+1；

（2）求足球落地點(diǎn)到守門員C的水平距離，即求當(dāng)y=0時與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因而有-x2+x+1=0，解之得x1=6－4（舍去），x2=6+4，所以足球第一次落地點(diǎn)C距守門員6+4≈13米；

（3）因?yàn)樽闱蛟诓萜荷蠌椘鸷蟮膾佄锞€與原來的拋物線形狀相同，故可設(shè)拋物線的解析式為y=-(x－k)2+2，又因?yàn)辄c(diǎn)（6+4，0）在拋物線上，所以k=6+4+2，根據(jù)拋物線的對稱性，運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑2×（6+4+2-6-4）=4≈10米.