探究中考中的平移與旋轉(zhuǎn)

平移與旋轉(zhuǎn)這部分知識不僅在實際生活中應(yīng)用廣泛，還有利于培養(yǎng)同學們的實踐與操作能力，形成空間觀念和運動變化意識，所以在中考中占有十分重要的地位.其常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等.常結(jié)合軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進行綜合應(yīng)用.解這類題要求同學們具備扎實的數(shù)學基本功，較強的觀察力，豐富的想象力及綜合分析問題的能力，解題時要切實把握幾何圖形的運動過程，并注意運動過程中的特殊位置.明確圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量，哪些是變化的量.本文將精選幾例有關(guān)圖形的平移和旋轉(zhuǎn)的中考題加以分析，旨在引導(dǎo)同學們學會分析和解答此類問題的能力．

一、直接考查平移和旋轉(zhuǎn)的特征

例1（北京市海淀區(qū)考題）在5×5方格紙中將圖1中的圖形N平移后的位置如圖2所示，那么下面平移中正確的是（）.

A. 先向下移動1格，再向左移動1格

B. 先向下移動1格，再向左移動2格

C. 先向下移動2格，再向左移動1格

D. 先向下移動2格，再向左移動2格

例2（金華市考題）將葉片圖案旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖形是（）.

解析：例1通過圖形N考查圖形的平移，平移的特征是：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等；對應(yīng)線段平行且相等；對應(yīng)角相等；不改變圖形的“方向”.答案選C．

例2通過考查葉片圖案圖形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的特征是：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.原葉片圖案葉柄朝上，葉尖在下方朝右方，旋轉(zhuǎn)180°后，恰好均相反.答案選D．

評析：這類題屬于簡單題、基礎(chǔ)題，但卻是中考必考的．

二、考查對平移和旋轉(zhuǎn)的理解和語言敘述

例3（嘉興市考題）如圖3，8×8方格紙上的兩條對稱軸EF、MN相交于中心點O，對△ABC分別作下列變換：

①先以點A為中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移4格、向上平移4格；

②先以點O為中心作中心對稱圖形，再以點A的對應(yīng)點為中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°；

③先以直線MN為軸作軸對稱圖形，再向上平移4格，再以點A的對應(yīng)點為中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90°．

其中，能將△ABC變換成△PQR的是（）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

例4（聊城市考題）如圖4，在由邊長為1的小正方形組成的方格紙中，有兩個全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2．

①請你指出在方格紙內(nèi)如何運用平移、旋轉(zhuǎn)變換，將△A1B1C1重合到△A2B2C2上 ．

②在方格紙中將△A1B1C1經(jīng)過怎樣的變換后可以與△A2B2C2成中心對稱圖形？畫出變換后的三角形并標出對稱中心．

解析：作中心對稱圖形就是以對稱中心為旋轉(zhuǎn)中心將原圖形旋轉(zhuǎn)180°的圖形；在敘述平移變換時，注意說明原圖形（基本圖形）、平移方向、平移距離和平移后的圖形；在敘述旋轉(zhuǎn)變換時，注意說明原圖形（基本圖形）、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)后的圖形.按照敘述，再作出大致圖形，不難得出例3答案選D.

例4中，①變換方法不唯一，僅提供一種：△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°后，向右平移3個單位后，再向上平移4個單位；②變換方法和圖形不唯一，僅提供一種：如圖5，△A2B2C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)90°后即與△A1B1C1成中心對稱圖形，對稱中心為O點．

評析：用語言敘述數(shù)學現(xiàn)象，這種能力的培養(yǎng)必須放在日常的數(shù)學交流活動中，這也是中考的方向，望引起同學們的注意．

三、考查平移和旋轉(zhuǎn)的作圖

例5（成都市考題）如圖6，方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形.我們把以格點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形”，圖中的△ABC是格點三角形.在建立平面直角坐標系后，點B的坐標為（-1，-1）．

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1的圖形并寫出點B1的坐標；

（2）把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C，畫出△A2B2C的圖形并寫出點B2的坐標；

（3）把△ABC以點A為中心放大時，放大前后對應(yīng)邊長的比為1：2，畫出△AB3C3的圖形．

解析：平移和旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是它們的特征.答案如圖7，點B1的坐標（-9，-1），點B2的坐標（5，5）；（3）略．

四、考查平移和旋轉(zhuǎn)特征的應(yīng)用

例6（遂寧市考題）如圖8，已知，線段DE由線段AB平移而得，AB=DC=4cm，EC=5cm，則△DCE的周長是 cm.

例7（青島市考題）如圖9，P是正三角形 ABC 內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB ，則點P與點P'之間的距離為，∠APB=

．

解析：例6由平移的特征知DE=AB=4 cm，所以△DCE的周長是4+4+5=13cm.

例7由旋轉(zhuǎn)的特征知P'A=PA=6，P'B=PC=10，∠P'AB

=∠PAC，由△ABC是正三角形 ABC，可知∠BAC=60°，從而∠P'AP=60°，所以△P'AP是正三角形，所以P'P=6cm，∠APP'=60°；在△P'BP中，P'P=6cm ，P'B=10，PB=8，由勾股定理的逆定理知△P'BP是直角三角形，∠BPP'=90°，從而∠APB＝150°．

五、考查平移與旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用

例8（河北省考題）如圖10，是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C'D'E'疊放在一起（點C與C'重合）．

（1）操作：固定△ABC，將△C'D'E'繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連結(jié)AD、BE，CE的延長線交AB于點F，如圖11.探究：在圖11中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論；

（2）操作：將圖11中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位長的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR，如圖12.探究：設(shè)△PQR移動的時間為x（s），△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

（3）操作：固定圖10中△C'D'E'，將△ABC移動，使頂點C落在C'E'的中點，邊BC交D'E'于點M，邊AC與D'E'交于點N，設(shè)∠ACC'=α（30°<α<90°），如圖13.探究：在圖13中，線段C'N·E'M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請求出C'N·E'M的值；如果有變化，請說明理由．

解析：（1）△C'D'E'繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，△ABC與△DCE都是等邊三角形， 故∠ACB =∠DCE=∠60°.CA=CB，CE=CD，所以∠BCE =∠ACD.即可知△BCE≌△ACD，得證BE = AD；

（2）由∠QTC=∠TCQ=30°可知QT=CQ=x.所以△QSC面積能用x表示.△PQR與△AFC重疊部分的面積為y應(yīng)為△PQR的面積與△QSC面積之差，可得y=-（3-x）2+（0≤x≤3）;

（3）線段C'N和E'M在△E'M C與△CC'N中，只需這兩個三角形相似即可得=.從而得C'N·E'M=C'C·E'C=．

六、平移與旋轉(zhuǎn)、軸對稱三種變換相結(jié)合

例9（義烏市考題）如圖14，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖15），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖16的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖16至圖19中統(tǒng)一用F表示）.

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了3個問題，請你幫助解決.

（1）將圖16中的△ABF沿BD向右平移到圖17的位置，使點B與點F 重合，請你求出平移的距離；

（2）將圖16中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖18的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；

（3）將圖16中的△ABF沿直線AF翻折到圖19的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH.

解析：（1）圖形平移的距離就是線段BC的長，在Rt△ABC中，斜邊長為10cm，∠BAC=30，可得BC=5cm，所以平移的距離為5cm；

（2）△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后知∠A1FA＝∠B1FA ＝30°，可知△GFD是直角三角形，因此，在Rt△EFD中，ED=10 cm，可得FD=5，所以FC=cm；

（3）只需證明AH、DH所在的兩個三角形全等即可.在△AHE與△DHB1中，由于∠FAB1=∠EDF=30°，所以FD=FA，EF=FB=FB1，可知FD-FB1=FA-EF，即AE=DB1.又因為∠AHE=∠DHB1，可證△AHE≌△DHB1（AAS），從而AH=DH．

七、旋轉(zhuǎn)相似變換

例10（南京市考題）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點O為中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應(yīng)點P'在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點 O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．

（1）①如圖20，將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（，）；

②如圖21，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，則線段BD的長為

cm；

（2）如圖22，分別以銳角△ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點O1、O2、O3分別是這3個正方形的對角線交點，試分別利用△AO1O3與△ABI，△CIB與△CAO2之間的關(guān)系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段O1O2與AO2之間的關(guān)系．

解析：理解旋轉(zhuǎn)相似變換的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.

（1）①2， 60°；②2；（2）△AO1O2經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換A（，45°），得到△ABI，此時，線段O1O2變?yōu)榫€段BI；△CIB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換C( ，45°)，得到△CAO2，此時，線段 變?yōu)榫€段AO1.由×=1，45°+45°=90°，可知O1O2=AO2，故O1O2⊥AO2 ．