隨機(jī)存儲問題的（ｓ，Ｓ）概率模型

[摘要] 隨機(jī)模型作為一種概率模型，在問題中如果必須考慮隨機(jī)因素對研究對象的影響時(shí)，有著不可替代的優(yōu)勢。本文研究隨機(jī)存儲問題，針對問題本身特點(diǎn)，在合理假設(shè)基礎(chǔ)上，建立了隨機(jī)存儲問題的（s，S）概率模型，進(jìn)行求解，并給出評注。

[關(guān)鍵詞] 存儲問題 隨機(jī)變量 （s，S）隨機(jī)存儲策略

一、隨機(jī)存儲問題簡介

存儲論是運(yùn)籌學(xué)的重要分支之一，現(xiàn)實(shí)生活中到處都可以碰到存儲問題。如某商場購進(jìn)某種批發(fā)商品，買的數(shù)量越多，價(jià)格越便宜，獲利越大，但買得越多，占用資金越多，占用庫存越大，且如果太多還會造成積壓，又要削價(jià)處理，人力物力都受損，如果一次進(jìn)貨太少，價(jià)格高，訂貨費(fèi)增加，又易發(fā)生缺貨現(xiàn)象，失去銷售機(jī)會而減少利潤，這就產(chǎn)生了進(jìn)多少商品使商場獲利最大的問題，也就是一個(gè)存儲問題。又如某工廠按現(xiàn)有人員編制每年可生產(chǎn)一定數(shù)量的某種產(chǎn)品，而生產(chǎn)這種產(chǎn)品需用一定數(shù)量的某種原材料，這種原材料不需每日供應(yīng)，但不得缺貨，缺貨將導(dǎo)致停工待料，影響生產(chǎn)計(jì)劃，每次訂購原材料需要費(fèi)用，定購次數(shù)越多，費(fèi)用越大，但為節(jié)約訂購費(fèi)用又不能訂購次數(shù)太少，訂購次數(shù)少，勢必每次訂購原材料多，每月的原材料保管費(fèi)就增大，那么最佳的訂購量和訂貨次數(shù)又是多少呢？這仍是存儲問題。像商品進(jìn)貨這類問題，由于需求具有隨機(jī)性，稱這類存儲問題為隨機(jī)存儲問題；像工廠進(jìn)原材料這類問題，需求是確定的，這類問題稱為確定性存儲問題。

二、（s，S）型隨機(jī)存儲問題提出及分析

商店在一周內(nèi)的銷售量是隨機(jī)的，每逢周末經(jīng)理要根據(jù)存貨的多少決定是否訂購貨物，以供下周銷售。適合經(jīng)理采用的一種簡單的策略是制定一個(gè)下界s和一個(gè)上界S，當(dāng)周末存貨量不少于s時(shí)就不訂貨，當(dāng)存貨少于s時(shí)則訂貨，且訂貨量使得下周初的存量達(dá)到S。這種策略稱為（s，S）隨機(jī)存儲策略。為使問題簡化，只考慮訂貨費(fèi)、儲存費(fèi)、缺貨費(fèi)和商品購進(jìn)價(jià)格，存儲策略的優(yōu)劣以總費(fèi)用為標(biāo)準(zhǔn)。顯然，在平均意義下的總費(fèi)用與（s，S）策略、銷售量的隨機(jī)規(guī)律，以及單項(xiàng)費(fèi)用的大小有關(guān)。

三、（s，S）型隨機(jī)存儲問題模型的假設(shè)、建立與求解

為敘述方便起見，時(shí)間以周為單位，商品數(shù)量以件為單位，我們作以下假設(shè)：

1.每次的訂貨費(fèi)為C0（與數(shù)量無關(guān)），每件商品的購進(jìn)價(jià)為C1，每件商品一周的儲存費(fèi)為C2，每件商品的缺貨損失為C3。C3相當(dāng)于售出價(jià)，所以C1＜C3。

2.一周的銷售量r是隨機(jī)的，r的取值很大，可視為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p(r)。

3.記周末的存貨量為，訂貨量為，并且訂貨后能立即到貨，于是下周初的存貨量為+。

4.一周的銷售是集中在周初進(jìn)行的，即一周的儲存量為+-r，它不隨時(shí)間而改變。

按制定（s，S）策略的要求，當(dāng)周末存貨量≥S時(shí)，訂貨量 ＝0;當(dāng)0且令 +＝S，確定s，S應(yīng)以“總費(fèi)用”最小為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)殇N售量r的隨機(jī)性，儲存量和缺貨量也是隨機(jī)的，致使一周的儲存費(fèi)和缺貨費(fèi)也是隨機(jī)的，所以目標(biāo)函數(shù)應(yīng)取一周總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，即長期經(jīng)營中每周期費(fèi)用的平均費(fèi)用，下面簡稱平均費(fèi)用。

由假設(shè)可知平均費(fèi)用為:

（1）

其中(2)

我們先在>0的情況下，求，使 達(dá)到最小值，從而確定S。為此計(jì)算:

(3)

令，記，并注意到，可得:

(4)

這就是說，訂貨量 加上原來的存貨量 達(dá)到（4）式所表示的S，可使平均費(fèi)用最小。由（4）式可以知道，當(dāng)商品購進(jìn)價(jià)C1一定時(shí)，儲存費(fèi)C2越小，缺貨C3越大，S應(yīng)越大，這與常識是相符的。

s應(yīng)為方程的最小正根。

四、模型的有關(guān)評注

這個(gè)模型只考慮一周的存儲與需求，稱為單時(shí)段的隨機(jī)存儲策略，其實(shí)還可以考慮多時(shí)段的情形。此模型中需求是連續(xù)型的隨機(jī)變量，如果需求是離散型的隨機(jī)變量，只需將上面的積分號改成求和號同樣可以求解。

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