Ｘ－１２季節調整與單位根檢驗

[摘要] 在實際應用中，人們常常基于季節調整數據做單位根及協整檢驗。他們認為季節調整剔除了季節相關性并且不會產生任何副作用，但是實際情況并非如此。本文針對X-12-ARIMA季節調整程序從理論和應用的角度闡述季節調整方法對單位根及協整檢驗的影響。以日本的消費和收入數據為例，對ADF方法、PP方法和HEGY方法的檢驗結果進行了對比。

[關鍵詞] 季節調整 單位根 協整

一、X-12季節調整的基本原理

二十世紀以來，隨著經濟統計信息在收集及發布上的增長及系統化，大量的工作致力于構建季節調整方法來剔除經濟時間序列中的季節性。季節調整方法基于構成因素分解剔除原始數據中季節性因素，美國的X-11程序以及它的升級版本X-12-ARIMA程序使用最為廣泛。

在這些季節調整程序中，經濟時間序列常常被分解為幾個相互正交的構成因素：趨勢-循環因素、季節因素和不規則因素。常用的是下面四類模型:乘法模型;加法模型;對數加法模型;擬加法模型。在乘法模型中，假定時間序列由趨勢項-循環、季節因素以及不規則因素組成，即

（1）

其中，、和分別表示趨勢項-循環（經濟周期）、季節因素以及不規則因素。X-12-ARIMA季節調整程序的處理過程大體可以分為建模、季節調整和診斷三個階段[參見Findley等(1998)]。基于移動平均法，X-12-ARIMA通過幾次迭代對數據進行分解，每一次對組成因子的估算都進一步精化。根據各種季節調整的目的，可以選擇不同的計算方式，在計算過程中可根據數據中隨機因素的大小，采用不同長度的移動平均。在不做選擇的情況下，也能根據事先編入的統計基準，按數據的特征自動選擇默認的計算方式。

已有大量的文獻主要是對季節調整的原理、濾子的形式和性能等進行研究，隨著對季節單位根、協整研究的不斷深入，季節調整對序列的單位根和協整檢驗會產生怎樣的影響引起越來越多的關注。

二、對單位根檢驗的影響

在默認選項下，X-11季節調整濾子近似等價于一個線性濾子[Young(1968)，Ghysels等(1996)]。假定用一個已知線性濾子對數據進行濾波，定義 (T+1)×(T+k+l+1)濾子矩陣F如下

（2）

其中是雙邊濾子的權數。通過矩陣F將一個樣本容量為T+k+l+1的數據集過濾為一個有T+1個觀測值的數據集。對于數據定義濾波后的數據集和濾波前的數據集yU=Uy，其中。

假若濾子是一個對稱的雙邊濾子(v-i=vi）并且 ，則它滿足:（1)關于常數和時間趨勢具有不變性；（2）當其濾子矩陣F作用于季節啞變量后，將得到一個常數矩陣，元素為季節均值之和。將濾子表示為滯后算子的多項式，有。從而，v(1)=1的對稱濾子可以消除序列中確定性季節因素的影響。

我們考慮如下回歸估計式

yt=ayt-1+εt（3）

（未）過濾數據的自回歸參數估計量為

i=U或F （4）

1.數據生成過程為單位根過程

如果數據生成過程為

yt=yt-1+zt（5）

其中是一個平穩可逆（允許具有季節性）的ARMA過程。從而，有

yFt-1=v(L)yt-1+v(L)zt=yFt-1+ωt（6）

其中，是一個平穩可逆的ARMA過程。則當時，有（依概率收斂）。由(6)式有，

從而

同理，[參見Phillips(1986)]。可見，當數據生成過程含有單位根時，隨著樣本容量增加，估計量與均收斂于1。因此，采用過濾后的數據進行估計不會產生漸近偏差。

雖然統計量T(－1)與T(－1)的極限分布不同，這是因為變換后的誤差項相關結構與變換前是不同的，并且擾動過程zt與wt的方差也是不同的。但是采用過濾前和過濾后數據所得的Dickey-Fuller和Phillips-Perron 統計量的漸近分布是相同的[見Fuller（1996）]，這是因為，擾動過程zt與wt均滿足（對其部分和）應用泛函中心極限定理的各種條件；在這兩個統計量計算過程中均對誤差的結構進行了修正從而有效地消除了漸近分布對誤差的相關性的依賴[參見Phillips（1986），Phillips和Perron（1988）等]。

單位根檢驗統計量的漸近分布不受數據是否被過濾的影響，并非意味著單位根檢驗統計量的有限樣本分布也不受影響。Ghysels和Perron（1993）的擬合結果表明，采用過濾前和過濾后數據所得的單位根檢驗統計量的有限樣本分布可能完全不同。這種偏倚在單位根檢驗中具有實際意義。當原始數據的季節滯后項之間具有相關性時，若采用X-11濾子，則除非自回歸模型的階數不小于季節周期，否則回歸系數的偏移是固有的。當滯后階數小于季節周期時，盡管季節調整（可能不完全）排除了數據在季節頻率上的自相關，但是它在自相關函數中產生了一個（不會漸近消失的）偏倚。對于Dickey-Fuller類單位根檢驗，為了避免統計量的偏移，自回歸式的階數至少與季節周期一樣長。因此，數據的季節調整并不能容許自回歸階數的降低。由于使用季節調整后數據進行單位根檢驗時需要自回歸階數至少與季節周期一樣長，因此有理由預期根據原始數據進行單位根檢驗的功效要大于使用季節調整后數據時單位根檢驗的功效。實際上，在絕大多數基于季節調整數據所做的Dickey-Fuller（1981）檢驗中，并未遵循這一規則。他們認為季節調整剔除了季節性相關性并且不會產生任何副作用，而采用了較短的滯后階數。這樣做的結果使得單位根檢驗的功效降低。

2.數據生成過程為平穩ARMA過程

當過程yt是一個平穩可逆的ARMA過程時，回歸式 (3)中參數的估計的極限

（7）

其中為過程yt的滯后j期的自協方差。對于過濾后的數據，同理有

（8）

令m表示對稱多項式v(L)的階數，則有

（9）

將的漸近偏倚記作，利用(7)式—(8)式可得

（10）

當給定原始序列yt的協方差結構時，我們可以通過(10)式計算 的漸近偏倚。Ghysel 和Perron(1993)證明在線性X-11濾子情形下檢驗統計量發生漸近偏倚，并且這種偏倚是正的，即 的極限大于 的極限。這種向上的偏移使得采用濾波后數據進行單位根檢驗的檢驗功效降低。

Ericsson， Hendry 和Tran(1994)證明當對稱雙邊濾子的權和為1時，濾波對協整關系沒有影響，而且檢驗統計量的漸近分布也不發生改變。此結果不僅適用于單方程協整方法而且可以推廣至向量協整方法。上述結論是漸近成立的，在實際應用中小樣本下濾波可能對協整檢驗產生嚴重影響。Ericsson等（1994）在對英國貨幣需求方程的實證研究中，證實了這種現象的確存在。

參考文獻:

[1]Dickey， D.A. and W.A. Fuller(1981)， “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root，” Econometrica 49，1057～1072

[2]Fuller， W. A. (1996)， Introduction to Statistical Time Series， New Yoke: Whey 2nd ed