一個蝸牛與魔棒的較量——淺探時間悖論

【摘 要】“蝸牛與魔棒”是關于時間的悖論，它的研究涉及到高等數學中的導數意義、調和級數、線性微分方程等知識內容的應用。在這里，我將以“蝸牛與魔棒的故事”、“數量問題及求解思路”、“魔棒先伸長后蝸牛再爬行”、“蝸牛先爬行后魔棒再伸長”、“問題的關節點”這五個方面進行闡述。

【關鍵詞】蝸牛 魔棒 均勻伸長 位移坐標

一、蝸牛與魔棒的故事

一只小蝸牛誤入歧途，爬到魔棒的一端，魔棒大怒說：我叫你永遠也爬不到另一端。于是魔棒以蝸牛數倍的速度伸長，可憐的蝸牛爬呀爬，何時才是盡頭？

二、數量問題及求解思路

將上故事數學化：一只不會老的蝸牛在一根不斷延伸的魔棒上爬行，假設蝸牛從魔棒的一端以每小時1厘米的勻速爬向另一端，同時魔棒以每小時1千米的速度在均勻伸長，問蝸牛能不能爬到魔棒端點？憑直覺：這只蝸牛永遠爬不到端點，但是它最終還是爬到了，為什么呢？以下就來討論這個問題。

設蝸牛在魔棒的位置為一個點且從左端向右爬，現以棒的左端為原點，右端為正方向，單位長度為1厘米建立數軸——OX軸。并從蝸牛開始爬行、魔棒（右端）開始伸長計時，經過 t小時后，蝸牛的坐標設為χ（t），顯然χ（0）= 0 ，魔棒的右端坐標為100000（1+t），如圖所示：

問關于時間 t的方程：

χ（t）— 100000（1+t）= 0 是否有解？

由題意知：在任何時間內，蝸牛在數軸上的位移都是兩個量的疊加，一是蝸牛在魔棒的爬行位移，二是蝸牛的位置因棒的伸長而產生的位移，雖然蝸牛沿魔棒爬行與棒均勻伸長是同時進行的，但我們可在任意時刻給出一個微小的時間段Δt內，可視蝸牛的坐標位移是按兩種順序復合疊加的：蝸牛不動魔棒先伸然后魔棒不動蝸牛再爬，或者魔棒不動蝸牛先爬然后蝸牛不動魔棒再伸。當然蝸牛爬行與魔棒伸長同時進行的情況更為復雜，但由于Δt無窮小，按兩種順序復合疊加后的結果誤差是Δt更高階的無窮小。以下就分兩種情形討論。

三、魔棒先伸長后蝸牛再爬行

1.解的存在性

將時間以小時為單位分段考慮蝸牛與魔棒端的坐標。

第1小時末棒端（右）坐標為100000（1+1），蝸牛坐標為 1

第2小時末棒端坐標為100000（1+2），蝸牛坐標為 1+（1+12）

第n小時末棒端坐標為100000（1+n），蝸牛坐標為

即，蝸牛沿魔棒爬行時間不超過N小時就能達到棒的端點。

2.解的精確值

在t時刻，魔棒端坐標為100000（1+t），蝸牛的位置坐標為χ（t），過微少的時間Δt后，棒伸長為：100000（1 + t +Δt）厘米，由于魔棒的伸長是均勻的，按相同比例，蝸牛的相對位置坐標為：χ（t）（1 +Δt1+t），隨后蝸牛又沿魔棒爬行Δt厘米，于得蝸牛的絕對位置坐標為：

χ（t +Δt）=χ（t）（1 +Δt1+t）+Δt

由上表達式可求得χ（t）的導數，由導數的實際意義可得t時刻蝸牛的絕對運動速度：

這是未知函數為χ，自變量為 t的一階線性微分方程，其通解為:

χ =（1 + t）ln（1+t）+C（1+t）（C為常數）

由初始條件χ（0）= 0得 C = 0

所以蝸牛在 t時刻的位置坐標為

χ（t）=（1 + t）ln（1+t）

令（1 + t）ln（1+t）= 100000（1+t）

t = e100000 — 1（小時）

即蝸牛雖慢，但經 e100000 — 1小時后它爬到魔棒的另一端。

四、蝸牛先爬行后魔棒再伸長

1.解的存在性

在 t時刻，蝸牛的位置坐標為χ（t），經過時間Δt后，蝸牛爬到χ（t）+Δt點，而魔棒在Δt內由100000（1+ t）均勻伸長為100000（1+t +Δt）厘米，蝸牛的位置由點χ（t）+Δt 延伸到χ（t +Δt），按同樣比例可得其表達式：

由第三部分第2段討論知上不等式右端是蝸牛在 t+Δt時刻，按魔棒先伸蝸牛后爬疊加的絕對位移，所以蝸牛的絕對位移按順序二疊加所得比按順序一疊加所得的較大。

因此由“順序一”的存在性自然推出“順序二”的存在性。

2.解的精確值

由1討論知：

即在 t 時刻，蝸牛的位移速度χ(t)按“順序一”或“順序二”疊加所得結論均為：

即蝸牛 t時刻的位移坐標表達式為：

χ(t) = (1 + t ) ln (1 + t)∴ t = e 100000—1是χ(t) = 100000 (1 + t)的精確解。

五、問題的關節點

1.從數軸上看在延伸的魔棒上爬行的蝸牛，其位置坐標是時間 t的函數χ(t) ，由導數的意義可求得χ(t)所滿足的一階線性微分方程：

加之初值條件χ(0) = 0得：χ(t) = ( 1+ t) ln (1 + t)

2.魔棒的右端坐標為100000（1+t），隨t的增大必有

χ(t) = ( 1+ t) ln (1 + t)≥ 100000（1+t）

加之不等式兩端皆為連續函數，故存在t0使

(1+ t) ln (1 + t) = 100000（1+t）

3.存在性的證明，其關鍵是調和級數的發散性。

4.理解蝸牛與魔棒悖論的關健是魔棒的伸長是均勻的，即棒上任何等長的兩段在相等時間內伸展的長度相等，這意味著沿魔棒爬行的蝸牛位置也隨棒的延伸向前挪動，加之蝸牛又在魔棒上不斷的向前爬行，因此它能爬到端點。

參考文獻：

[1]劉玉璉.數學分析[M].北京：高教出版社，1994.

[2]溫耀華.常微分方程[M].重慶：西師出版社，1989.

[3]李恩一等譯.從驚訝到思考[M].北京：科技出版社，1984.

[4]申先甲.科學悖論集[M].長沙：湖南科技出版社，1998.

(作者單位：貴州興義市黔西南民族師范高等專科學校）