Ｌ形方塊完全覆蓋俄羅斯方塊圖形的條件

摘要：俄羅斯方塊游戲很有趣味性，游戲吸引人的地方在于幾個不規則的圖形變化。那不規則圖形能否完全覆蓋全部空間呢，在理論上能得到結論嗎？文中試著對L形方塊入手，從理論上給出它能充滿游戲空間的條件。

關鍵詞：俄羅斯方塊；L形方塊；完全覆蓋

中圖分類號：TP311文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)12-20ppp-0c

The Condition of Russia-Block are Covered with L-shape Squares

ZHAO Fu-sheng

(Shenyang Normal University， Drama Art College， Foundation Department， Liaoning Prov.， Shenyang 110034， China)

Abstract: Russia-block game is very interesting ， the game is so attractive that we owe it to several irregular figures. Whether that irregular artwork can cover all space completely， or can we draw a conclusion in theory? The article narrows the focus to L-shape square and we try to find the answer theoretically that it covers all room.

Key words: Russia-Block; L-shape Square; cover completely

很多人都玩過一款經典的小游戲——俄羅斯方塊，我不知道你是不是玩到過盡頭，通過了所有的關卡。可以肯定，很多人都是有“死”的時候，或是從沒玩到過盡頭吧！那是我們技術不過硬，還是游戲本身設置得不能玩到頭呢？我尚且不知道這個答案，因為游戲里有5種方塊，如圖1～圖5，若游戲本身只有圖1和圖2，則游戲會很簡單且毫無意義，它的趣味性就在于幾個不規則圖形。我在想：如果游戲只有圖3（L形方塊），是不是也會變得很簡單呢？不是的，如果你隨意擺放L形方塊，肯定會“死”。下面是我的證明過程。

俄羅斯方塊的空間是用矩陣，其實就是數組（稱之為數組空間）構建起來的，5種方塊也是數組，方塊的旋轉是數組的倒序排列，更多的計算機編程方法不在此討論，我從靠近數學的方面給出L形方塊填滿全部空間的充要條件。這款游戲的實質就是5種方塊的數組怎樣擺放能完全覆蓋數組空間。現只觀察圖3，方格數為4個，設俄羅斯方塊空間是m×n格（數組的每一單元是一個格），則L形方塊若能完全覆蓋數組空間，m×n必是4的倍數，即m×n＝4k1(m>1，n>1，k1>1)。于是數組空間至少有一個方向（設為列方向）的格數為偶，為便于分析，把空間隔行染成黑白兩色，每行諸格同色，得到全盤的黑格數＝白格數＝mn/2。此時任意位置的L形方格必然覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格。令前者有a片，后者有b片，有如下等式：3a+b=3b+a=mn/2.所以a=b，即必須同時存在偶數片的L形方格，或者說至少同時有2片L形方格，那么把2片L形方格看作一個整體，得到8個方格，從而m×n一定是8的倍數，即m×n＝8k2。進而給出m×n格盤的以下覆蓋方法：m，n皆為偶數時，令m=4p，n=2q，則m×n＝4p×2q=8pq=pq(4×2)，屬于4×2格盤；m，n之一為奇數時，設m=8p，n=2q+3，則m×n＝8p×(2q+3)=2pq(4×2)+p(8×3)，屬于8×3格盤。得出結論，只有在這2種情況下，L形方格才會完全覆蓋俄羅斯方塊的空間。簡易覆蓋圖如圖6、圖7。

參考文獻：

[1] 田秋成. 組合數學（第1版）[M].北京：電子工業出版社，2006.

[2] 嚴尉敏，吳偉民. 數據結構（C語言版 第1版）[M]. 北京：清華大學出版社，1997.

收稿日期：2008-03-05

作者簡介：趙福生（1978－），男，助教，遼寧沈陽人，研究方向：計算機基礎教育。