復雜摩擦金融市場中的最優消費－投資組合的弱無套利分析

[摘 要] 我們分析了包括兩種不同的固定交易費、不成比例的交易費、和買賣價差及稅收等條件下的最優消費-投資組合無套利的情形，運用優化理論和凸分析方法，得到最優消費-投資組合無套利的一些重要性質。

[關鍵詞] 交易費 最優消費-投資組合 優化理論和凸分析方法

一、基本概念和引理

Modigliani和Mille的MM理論蘊涵著無套利均衡思想。金融理論研究中后來取得的一系列突破性成果都是無套利分析方法的杰出應用，但它們大多數假設市場是無摩擦的。然而，在實際的金融市場中，總是存在著多種形式的摩擦，一般來說，任何形式的摩擦均使問題復雜化，例如Garman和Ohlson利用狀態價格刻畫了有交易費時的無套利條件，本文在更復雜的摩擦市場(包括買賣價差、稅收、不成比例的交易費），上刻畫了無套利的一些性質。

考慮這樣的資本市場，它有個資產和個可能的自然狀態，資產在期初交易，收益在期末實現，在期中不發生任何交易。對投資者來說，資產i的當前購買價格是，出售價格是，出售價格略低于購買價格，即0，現在，市場完全可用八元數組來描述。

在實數軸上定義函數：

在維歐氏空間上定義函數:，則。

投資組合調整的包括交易費在內的總成本則是，狀態支付向量是。若則意味著調整沒有任何成本，若，則調整在期初產生了正的現金流。本文用弱無套利分析刻畫了最優消費-投資組合策略問題。

定義1稱金融市場是弱無套利的，如果不存在投資組合調整使得和（1），這里為收益矩陣。

記為的第一卦限為分量均為正數的向量構成的集合，定義的一個子集:。

引理1函數是次線性的，如果對任意有和

引理2費用函數均是次線性的，因而也是凸的。

二、主要結果

為方便起見，對任何，

定義1，并記:，現在我們考慮如下最優消費-投資組合選擇問題：

其中W>0指投資者的初始財富，是投資在自然狀態下的消費構成的向量，是投資者在自然狀態下的稟賦構成的向量，是投資者的效用函數，這里假定它是凹的和嚴格遞減的。投資者的預算-可行集（即的可行集解）。依Duffie的證明，我們做如下假設：

假設1存在投資組合使得其支付。

如果和稅率為0以及組合是消費組合，現在得出投資組合的一些性質：

定理1 復雜摩擦市場是弱無套利的當且僅當如下的優化問題的最優值為0。

證明:如果市場是弱無套利的，則對任意滿足且0是該問題的一個可行解，故該優化問題的最優值為0。另一方面，如果優化問題的最優值為0。因此對任意滿足，我們有，這包含不存在，滿足且，因此市場是弱無套利的。故該問題得證。下面定義：

由此，我們有:

定理2投資組合選擇問題有最優解的充分條件是且。

證明:如果有最優解。則明顯該投資組合選擇問題沒有最優解，否則，讓滿足且滿足，由于，則是該投資組合選擇問題的可行解。對任意的因此，，這就包含了對任意，也是該投資組合選擇問題的可行解。當，有無界并且無最優解。若該市場Li已討論，故該問題得證。

本文推廣把Li和X.Chao等的結果推廣到兩種不同的固定交易費、不成比例的交易費和買賣價差及稅收等條件下金融市場情形，得出了一系列較好的結果。

參考文獻:

[1]Allingham M.Arbitrage[M].New York:St.Marin’s Press，1991

[2]Duffie D.Dynamic Asset Pricing Theory[M]，2nd Ed. New Jersey:Princeton University Press.1996

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文