最優價格的數學模型

[摘 要] 本文主要闡述了最優價格模型在經濟學中的指導意義。

[關鍵詞] 經濟學 數學模型 最優價格

一、引言

建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與工作者掌握的數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁。將數學方法應用到實際問題中時，往往首先是把這個問題的內在規律用數字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經過數學的處理得到定量的結果，以供人們作分析、預報、決策或者控制，這個過程實際上就是一個建立數學模型的過程。數學和經濟的聯系是十分緊密的，而對數學的應用往往要通過數學模型。下面的最優價格模型是我們經濟學中比較經典的一個數學模型，從中也可以看出數學模型的建立對經濟學有很重要的意義。

二、最優價格模型

1.模型假設:最優價格，簡單的說就是使商家或企業獲得最大利潤的產品的價格。對于最優價格的問題，應該是每個企業關注的。如果一個廠長有權根據產品成本和銷售情況制定商品價格的話，他當然會尋求能使工廠利潤最大的所謂最優價格。本文所討論的最優價格模型，是指在產銷平衡狀態下的模型，這里的產銷平衡是指工廠產品的產量等于市場上的銷售量。為了模型的更加合理性，這里假設產品的銷售量依賴于產品的價格，產品的成本與產品的產量也是相關聯的。

2.模型建立:利潤是銷售收入與生產支出之差。假設每件產品售價為p，成本為q，銷售量為x（與產量相等），總收入與總支出分別是I和C，則可以得到

I=px（1）

C=qx (2）

另外，我們知道在市場競爭的情況下銷售量x依賴于價格p，因此銷售量應該是價格的函數，記作

x=f(p) （3）

這里f稱為需求函數，是p的減函數。

我們再考慮成本與產品數量的關系。通常情況下，成本是隨著產品的數量逐漸降低的，因此可以認為產品的成本是產品數量的函數，記作

q=Q(x) （4）

其中，我們把Q叫做成本函數，是x的減函數。

這樣，x和q都可以由p來確定。可以得到銷售收入和生產支出C都是價格p的函數，設利潤為U，則可以表示為

U(p)=I(p)-C(p) （5）

其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。

使利潤U達到最大的價格就是最優價格。設最優價格為p*，那么可以得到當dU/dp=0時p的值即為p*。即有dU/dp=dU/dp，當p=p*時。

我們把dI/dp稱為邊際收入（價格變動一個單位時收入的改變量），dC/dp稱為邊際支出（價格變動一個單位時的支出的改變量）。上式表明，最大利潤是在邊際收入等于邊際支出時達到的。

為了得到進一步的結果，本文假設出需求函數和成本函數的具體形式。設需求函數是簡單的線性函數

f(p)=abp a，b>0 (6）

其中，a可以理解為這種產品免費供應(p=0）社會的需求量，稱為“絕對需求量”。b表示價格上漲一個單位時銷售量下降的幅度（當然也是價格下跌一個單位時銷售量上升的幅度），它反映市場需求對價格的敏感程度。

設成本函數為Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）

其中，m表示產品的最底成本，t表示產品數量增加或減少帶來的幅度，n調節常數，即產品的最大成本為(m+1/n）。

將(1)～(3)和(6），(7)帶入(4)式可得

U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)

=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）

用微分的方法可以求出使U(p)最大的最優價格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0(9）

這是一個關于p的三次方程，對于實際問題，當得到a、b、m、n、t的數值帶到(9)式中，再用相應的數學方法求出p*。在實際的工作之中，a和b可以由價格p和銷售量x的統計數據用最小二乘法擬合來確定。m和n實際上是已知的常數，t也是根據產量的多少可以得出的。對于(9)式的求解在有些時候可能不容易得到精確的數值，我們可以根據實際情況得到具有一定精度的近似值。

三、總結

除了上述最優價格模型，經濟學中的彈性理論，金融工程中的期貨期權理論，最優化和影子價格都是經濟和數學的完美結合，數學模型為經濟學的研究開辟了一條寬闊的大路，同時也使經濟學從定性研究向定量研究轉化，更加具有理性和發散思維，正是數學和經濟學的結合為社會科學的發展增加了動力，也為社會創造了很大的物質財富，相信數學模型這個工具將來會給經濟學更廣闊的發展空間。

參考文獻:

[1]高鴻業:西方經濟學[M].北京:中國人民大學出版社，2004

[2]迪迪埃·科森 于格·皮羅特，王唯翔 殷劍峰 程 煉等譯:高級信用風險分析:評估、定價和管理信用風險的金融方法和數學模型[M].北京:機械工業出版社，2005

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