平面解析幾何在管理會計中的一些應用

[摘要] 平面解析幾何中的一些原理和方法，如一次函數、二次函數、三角函數的性質，函數圖像等在管理會計中都有廣泛的應用，運用這些方法學習管理會計，有事半功倍的效果。

[關鍵詞] 二次函數 三角函數 增函數 減函數

管理會計中的某些內容可以采用平面解析幾何中的原理和方法進行教學和課外輔導，對于沒有學過高等數學的人學習管理會計，也具有重要的現實意義。現將這些方法舉例如下:

一、二次函數性質的應用

[例1]某企業計劃年度單位產品價格由基期價格P變動到P1、銷售量由基期銷售量Q變動到Q1，設△P=P-P1，△Q=Q1-Q，一般地，銷售量變動方向與價格變動方向相反，∴△P與△Q同號。該產品計劃期銷售收入為：

R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）

設X為價格變動率，X=△P/P；需求價格彈性系數Ep=(△Q/Q)/(△P/P）>0

移項得:△Q=EpQX

于是，R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）=（P-PX）（Q+EpQX）

將上式化簡，得價格需求變動目標函數為：R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]。試說明，當Ep為已知時，銷售收入R的值將如何隨X的變化而變化。

設關于X的二次函數:f(X)= R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]

配方后得f(X)=PQ{-Ep[X-（Ep-1)/2Ep ]2+（Ep+1）2/4Ep}

∵Ep>0，∴- Ep<0，二次函數f(X)的圖像是一條開口向下的拋物線(圖1），它的對稱軸方程是，X=（Ep-1）/2Ep；頂點坐標是A（（Ep-1）/2Ep；PQ（Ep+1）2/4Ep）， 從圖像可知，當X小于（Ep-1）/2Ep時，f(X)為增函數；當X大于（Ep-1）/2Ep時，f(X)為減函數；當X等于(Ep-1)/2Ep時，f（X）取最大值。

因此，我們得到結論：當X小于（Ep-1）/2Ep時，銷售收入R隨X的增加而增加（提價對企業有利）；當X增加到等于(Ep-1)/2Ep時，銷售收入達到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep];當X大于(Ep-1)/2Ep時，銷售收入反而會隨X的增加而下降（這時，應當適當降價，使銷售收入回歸到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep]）。

二、三角函數的增減性和一次函數性質的應用

[例2]假定華夏公司今年擬生產甲、乙兩種產品，其售價、成本及約束條件的資料如下表所示：

試為華夏公司做出應如何安排甲、乙兩種產品的生產，才能獲得最大貢獻毛益總額。

設華夏公司今年生產甲產品x件，乙產品y件，兩種產品的貢獻毛益總額S(元)為：

S=（85－55）x＋（90－65）y

S=30x＋25y

目標函數S=30x＋25y為極大值時的約束條件如下：

在平面直角坐標系中作出上述不等式組對應的幾何圖形（圖2）。設直線L1∶y=－3/2x＋900，L2∶y=－6/5x＋1/25S，L3∶y=－3/4x＋600，所對應的傾斜角分別為α1，α2，α3，

∵－3/2＜－6/5＜－3/4

即tgα1＜tgα2＜tgα3正切函數y=tgα，α∈（900，1800）時是增函數，∴α1＜α2＜α3

y=－6/5x＋1/25S的圖象是在Y軸上截距為1/25S，斜率為－6/5的一簇平行線，根據本題條件，該直線上的點（x，y）應在上述不等式組所確定的區域內取值（包括該區域的邊界）。由圖2知，當該直線平行移動到經過該區域邊界點A（400，300）時，截距1/25S最大。將A的坐標代入方程y=－6/5x＋1/25S，

得：Smax=19，500（元）

甲產品應生產400件，乙產品應生產300件。

三、三點共線，任意兩點連線鈄率相等原理的應用

[例3]現有下列投資方案，試計算方案的內含報酬率。

設i為折現率，在平面直角坐標系中，設以i為自變量的函數y1=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2 的圖像為曲線f1，y2=100的圖像為直線f2，f1與f2相交于點T（i，100）（圖3），i即為所要求的內含報酬率。

f(i)=NPV=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2－100。

根據內含報酬率定義，本題意為，求使f(i)=70×1/(1＋i）2＋60×1/(1＋i）1－100=0時的i值。

先對折現率進行測試，測試結果如下：

NPV由正到負所對應的兩個相鄰的折現率是18%和19%，內含報酬率i處于18%與19%之間。

根據《折現率測試計算表》，設f1上的兩點為A（18%，101.12），B（19%，99.8517）。把曲線f1在區間[18%，19%]之間的圖像近似地看作線段AB，則根據A（18%，101.12）、T（i，100）、B（19%，99.8517）三點共線，任意兩點連線斜率相等的原理，得比例算式:

(18%-i)/(18%-19%)=(101.12－100)/(101.12-99.8517)

解之得，內含報酬率i≈18.8831%

雖然平面解析幾何的許多方法在管理會計中有著廣泛的應用，但它只能解決簡單問題。管理會計中有許多問題是用初等數學方法解決不了。我們要學好管理會計并把它應用于實際工作，不但要學好高等數學，而且要學好計算機技術。

參考文獻:

[1]孫茂竹文光偉楊萬貴主編:管理會計學，北京:中國人民大學出版社，2006年3月第3版

[2]李天民編著:現代管理會計學，上海:立信會計出版社，1999