運用高等數(shù)學對經(jīng)濟分析的探討

在高速發(fā)展的經(jīng)濟建設(shè)中，現(xiàn)代化經(jīng)濟理論已經(jīng)從過去的經(jīng)濟定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結(jié)合。因而高等數(shù)學的一些方法如函數(shù)理論微積分矩陣概率統(tǒng)計運籌學等知識在經(jīng)濟管理中都有了廣泛的應用。使得人們能從理論上分析有關(guān)的經(jīng)濟模型，從而給出合理的解釋，更好地對經(jīng)濟建設(shè)起指導作用。

一、函數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

在經(jīng)濟活動中生產(chǎn)者與消費者通過市場交換商品，消費者購買商品是為了得到它的效用，生產(chǎn)者提供商品為了獲取利潤，而市場就是生產(chǎn)者和消費者之間的橋梁我們知道某種商品的市場需求量是商品價格的函數(shù)，一般說來將隨著價格的上漲而減少，即需求量是市場價格的單調(diào)減少函數(shù)，與需求函數(shù)相反，供給函數(shù)是隨著市場價格的上漲而增加。收人是生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品售出后的收人，生產(chǎn)者銷售某種商品的總收人取決于該商品的銷售和價格，成本函數(shù)固定成本廠房設(shè)備管理者的固定工資等和變動成本原材料勞動者的工資等，利潤是生產(chǎn)者扣除成本的剩余部分它也是產(chǎn)量的函數(shù)。.

例:已知生產(chǎn)某種商品q件時的總成本(單位：萬元)為

C(q)=10+5q+0.2q

如果每售出一件該商品的收入為9萬元。

(1)求生產(chǎn)10件該商品時的總利潤。

(2)求生產(chǎn)20件該商品時的總利潤。

解由題意可知，該商品的收入函數(shù)是R(q)=9q(萬元)

又已知C(q)=10+5q+0.2q(萬元)

利潤的函數(shù)為L(q)=R(q)一c(q)=4q一10一0.2q(萬元)

(1)生產(chǎn)10件該商品時的利潤為

L(10)=4x10一10一0.2x102=10(萬件)

(2)生產(chǎn)20件該商品的總利潤為

L(20)=4x20一10一0.2x 202=-10(萬元)

從上面這個例子，我們可以分析這樣現(xiàn)象，即利潤并不是總是隨著產(chǎn)量的增加而增加有時會產(chǎn)量增加，利潤反而減少，甚至會產(chǎn)生虧損。由理論分析得知利潤函數(shù)分三種情況：

L(q)=R(q)一c(q) > 0此時生產(chǎn)者盈利。

L(q)= R(q)一C(q) < 0生產(chǎn)者虧損。

L(q)=R(q}-C(q)= 0此時生產(chǎn)者即不盈利也不虧損即收支平衡。

盈虧分析常用于企業(yè)經(jīng)營管理中各種價格或生產(chǎn)的決策。

二、微積分在經(jīng)濟分析中的應用

在經(jīng)濟學里習慣上用平均和邊際這兩個概念來描述一個經(jīng)濟量對于另一個經(jīng)濟量的變化，如邊際成本其經(jīng)濟含義當產(chǎn)量為再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)

邊際利潤總利潤的平均變化率設(shè)銷售某種產(chǎn)品利潤函數(shù)為等于總收入減去總成本即那么由導數(shù)的運算法則可知所以，邊際利潤等于邊際收人減去邊際成本。

例:已知生產(chǎn)某種彩色電視機的總成本函數(shù)為

C(q)=2.2x103q+8x107

通過市場調(diào)查可以預計這種彩電的年需求量q=3.1x105一50p，試求使利潤最大的銷售量和銷售價格。

解由需求量q=3.1x105一50p，解得

p=6.2x103-0.02q，那么當銷售量為最大時，總收入函數(shù)為，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利潤函數(shù)為L(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107

L’(q)=4x103q -0.04q

令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一駐點q=105由實際問題可知，q=105是利潤函數(shù)的極大值點，也是它的最大值點，最大利潤為

L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108

當q=105，彩電的銷售價格為p=6.2x103-0.02x105=4200(元)

邊際需求為q(P)= -50，需求彈性為

使利潤最大的彩電售價為P=4200(元)，那么需求彈性為

即當彩電售價為需求彈性為富有彈性，此時適當降價不僅能夠增加銷售量，擴大本企業(yè)的彩電在銷售市場上的占有份額，同時也能減少產(chǎn)品的庫存積壓，降低庫存成本，增加銷售總收人，給企業(yè)帶來經(jīng)濟效益。

三、線性方程組在經(jīng)濟分析中的應用

國民經(jīng)濟是一個相互聯(lián)系、彼此制約的大系統(tǒng)，任一因素的變動都會產(chǎn)生一系列的直接影響和間接影響，當各產(chǎn)業(yè)部門間的技術(shù)系數(shù)即直接消耗系數(shù)矩陣A確定后，就可以通過最終需求Y，求出一個經(jīng)濟系統(tǒng)中，各產(chǎn)業(yè)部門之間存在著密切的關(guān)系。即

例如:下表列出了我國2005年三個產(chǎn)業(yè)部門的中間產(chǎn)品，最終產(chǎn)品的統(tǒng)計結(jié)果。

三產(chǎn)業(yè)的直接消耗函數(shù)矩陣

第一產(chǎn)業(yè)提價，那么，可以認為第一產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品有4628億元的缺口，其他兩個產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品不變，即

可見，第一產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)品實際增量為555.36億元，增加幅度為，即第一產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)品只增加6.11%，由此可以知道并非漲多少就能賺多少。

總之，通過對經(jīng)濟模型的數(shù)學分析，可以更好的為企業(yè)進行科學的管理，提供科學的理論依據(jù)。

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