基于單片機的諧波分析精度討論及定點實現(xiàn)

摘要：諧波分析是電能質(zhì)量測試中的重要環(huán)節(jié)，準確的測試為諧波的補償提供了重要的依據(jù)。該文著重研究了不同步采樣下諧波分析的理論，給出了C語言的仿真，并比較了不同窗函數(shù)的特點。對FFT算法做了改進，將浮點的運算改為定點的運算，使其更能符合項目的特點。

關(guān)鍵詞：諧波；窗函數(shù)；A/D采樣；FFT；定點

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)34-1782-03

Discussion about the Accuracy of Harmonic Analysis and Sentinel Achieve

ZHANG Peng， HE Qiang， LI Fei-fei

(School of Electrical an Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China)

Abstract: Harmonic analysis is power quality test of an important part of accurate test for harmonic compensation provided an important basis. This article focuses on the non-synchronous sampling Harmonic Analysis under the theory， given the C language simulation， and compare the different characteristics of the window function. FFT algorithm to do the improvements， the floating-point operations will be designated the operator， to make it more consistent with the characteristics of the project.

Key words: harmonic; window function; sampling；FFT; sentinel

1 引言

諧波是由于電網(wǎng)中非線性的負載的增多而引起的，隨著電網(wǎng)中諧波地增加已嚴重影響了電能的質(zhì)量，因此諧波分析成為電能質(zhì)量測試的重要環(huán)節(jié)。

現(xiàn)有的測量方法大都采用的FFT算法，生產(chǎn)出了便攜式的諧波分析儀。本文基于凌陽75F2413A型單片機，對諧波分析中的A/D采樣精度問題及對于FFT算法的定點實現(xiàn)問題進行了分析。

2 諧波分析理論

2.1 頻譜泄露與柵欄效應(yīng)

假設(shè)輸入的信號為單一頻率的正弦信號，即

■ (1)

對其進行等間隔的采樣，采樣的頻率為fs，則采樣后的序列為

■ (2)

令■，則 ■，其頻譜為■(3)

在頻域為一沖擊串。對輸入序列進行加窗，即在時域相乘，那么在頻域就是卷積，任何函數(shù)與沖擊函數(shù)的卷積等效為對原函數(shù)進行移位，所以對矩形窗來說，其頻域函數(shù)為

■(4)

其零點在■ ，■。

所以對單頻率的正弦函數(shù)加矩形窗就是對函數(shù)(4)進行移位。對于DFT而言，由于其周期為2π，所以我們只討論在[0，2π]的范圍。由于在θ<0的范圍內(nèi)也會有一個函數(shù)(4)，所以會對正半周的采樣產(chǎn)生誤差，這就是所謂的頻譜泄露。當存在其他次數(shù)的諧波時，各諧波之間相互干擾，以至于幅度較高的諧波淹沒幅度較低的諧波，造成分析上的誤差。從上面的分析可以知道，函數(shù)(4)在■ 處的值為零，所以如果我們采樣的頻率是信號頻率的整數(shù)倍的話，剛好在采樣的位置函數(shù)(4)的值為0，所以存在頻譜泄露不一定會產(chǎn)生頻譜分析誤差。但在實際的時候我們的采樣頻率很難做到是周期的整數(shù)倍。

對輸入序列做DFT變換則相當與對傅立葉變換X(ejω)在[0，2π]上的N點等間隔采樣，而這N點的采樣值不一定就剛好在函數(shù)(4)的峰值，也就是諧波頻率的位置，就相當于透過柵欄觀賞風景，看不到全貌，這就是所謂的柵欄效應(yīng)。

2.2 窗函數(shù)

對輸入的信號直接采樣，相當與對信號加矩形窗，而矩形窗的頻譜泄露較大，會有很大的旁瓣干擾，所以要選用性能更好的窗函數(shù)。比較常用的窗有漢寧(Hanning)窗，哈明(Hamming)窗，布萊克曼(Blackman)窗，布萊克曼-哈里斯(Blackman-Harris)窗，幾種窗的基本參數(shù)[1]如表1。

用Matlab的Wintool工具進行分析，得到下面圖1的頻譜圖形。

從表格1和圖形1我們可以清楚地看到各個窗函數(shù)的優(yōu)缺點。布萊克曼窗旁瓣的衰減最大，但過渡帶寬最寬，譜的分辨率就會下降。

2.3 采樣點數(shù)的選擇

表1也為我們進行窗函數(shù)的選擇和采樣點數(shù)提供了依據(jù)。下面以漢寧窗和布萊克曼窗為例進行如下分析：

前面已經(jīng)分析過被采樣的信號為單一頻率的情況，而實際的信號是各次諧波的疊加，對輸入函數(shù)加窗就相當于對窗函數(shù)進行移位，移位的間隔就是式(1)中的■。假設(shè)基波頻率為50Hz，那么要分析到31次諧波的話，采樣的頻率fs為最高頻率的2倍以上，一般取2-4倍，也即是fs≈4500Hz。為了使旁瓣的干擾減小，峰值之間的間隔ω0>過渡帶寬，這樣不同諧波之間的干擾才小，由此求得采樣點數(shù)N，對于漢寧窗N>360，布萊克曼窗N>540。為了便于比較，在后面的程序中統(tǒng)一取采樣點數(shù)為1024點。

3 諧波分析的定點實現(xiàn)

我們知道，對最終需要用單片機來實現(xiàn)的項目來說，雖然我們選用的單片機SPMC75F2413A帶有浮點運算，但是對追求速度的嵌入式設(shè)計來說其運算速度是不能容忍的，而且在前面的運算中，我們使用了VC自帶的計算三角函數(shù)和反正切，所以不適合直接移植到單片機上。并且SPMC75F2413A只有2K的RAM，所以必須用定點實現(xiàn)大部分的運算，特別是最耗費時間的FFT運算。

3.1 Q值的選擇

從文獻[5]中知道，F(xiàn)FT的公式為：

■

由于我們采用的是單片機自帶的A/D，為10位精度，所以我們直接將結(jié)果表示為(0，1)的Q10的16位數(shù)參與FFT。為了使運算的結(jié)果不溢出，那么結(jié)果必須是Q5，精度顯然太低，因此必須將結(jié)果表示為32位的定點數(shù)。對輸入是(-1，1)的1024點FFT來說，得到的結(jié)果范圍是(-1024，1024)。如果是32位定點數(shù)，最大可以取到Q21，精度明顯提高。我們知道，16位數(shù)與16位數(shù)的乘法，為了不溢出，我們可以先將其擴展為32位的數(shù)再參加運算，但是如果是32位數(shù)的相乘的話，VC和單片機的編譯器都不提供32位×32位的運算。文獻[5-6]都提到了一種32位×32位的方法，其中文獻[5]的方法簡單實用，但是在實際運用的時候給出的參考程序在計算兩個負數(shù)的時候存在一定的問題，為此我們作了一些改進，具體參考附錄中的源程序。我們給出了整個定點運算的流程圖及其Q值的變化。

定點運算最重要的是在保證不溢出的情況下盡量地保證運算的精度，而且對運算中的物理意義要非常地清楚，能確定每次參加運算的數(shù)和結(jié)果的大致范圍。由于 的數(shù)值范圍為[0，1]，因此整個流程中的數(shù)的范圍還是很好估計的。

需要說明的是，程序的絕大多數(shù)運算都是使用的定點運算，只是在最后為了保證一定的精度和程序的簡單使用了較少的浮點運算，這在單片機中也是可以接受的。

3.2 查表與數(shù)值計算

FFT譜分析中，還有正余弦、反正切、開平方的運算，在單片機上實現(xiàn)這些運算有多種方法。在加窗、FFT和修正參數(shù)的時候都要用到正余弦，我們采用的是查表法。制作了[0，■]的256個點的表，且用Q15表示。

在求幅值的時候我們還用到了開平方的運算，由于我們對此的了解不是很多，因此直接采用了文獻[7]中的算法。

我們給出了幾組定點諧波分析的結(jié)果。被測的函數(shù)為函數(shù)(10)。

當把25次諧波的幅值改為0.001時，檢測不到諧波的存在。當25次諧波的幅值為0.005，f=49.5時，測得的數(shù)據(jù)如下：

■

可見定點能檢測到的諧波最小幅值>0.005V，當幅值太小的時候，相位和幅值都會產(chǎn)生很大誤差，測量的結(jié)果將不可靠。

3.3 定點誤差分析

由于定點運算的舍入，會帶來誤差。比較表(3)(4)和(6)(7)，我們可以看出，定點帶來的誤差還是可以接受的。但是在諧波的幅度較小的情況下，定點帶來的誤差還是很大的。關(guān)于定點運算，我們作如下討論。

1) 制表的精度對結(jié)果的影響

輸入的數(shù)據(jù)的精度是10位，并且在FFT變換之前我們作了一次加窗，并且加窗使用的是查表法，而且在以后的FFT和修正算法的時候也多次直接或間接地用到了該表，所以制表的精度會影響最后結(jié)果的精度。但是在單片機上實現(xiàn)的時候，為了節(jié)省存儲的空間，我們不可能將表做得太大。我們使用的三角函數(shù)的Q值為15。

2) 提高A/D的精度對結(jié)果的影響

我們使用的單片機的A/D的轉(zhuǎn)換精度是10位，為了仿真，我們將輸入的數(shù)據(jù)也定為10位。為了驗證A/D的精度對最后結(jié)果的影響，我們將輸入的數(shù)據(jù)的A/D精度提高到了15位，并得到了以下一組結(jié)果。

比較表(7)，表(8)可見單純提高A/D采樣的精度對最終測量的精度沒有明顯的改善，定點諧波分析的誤差主要是在計算時的舍入造成的。

在求幅值的時候我們使用了整數(shù)開平方的運算，輸入的數(shù)據(jù)是21位的精度，左移一位過后再開方，則結(jié)果的精度變?yōu)榱?1位，所以對最終結(jié)果的影響較大。遺憾的是，由于我們對數(shù)值開平方運算的了解較少，所以暫沒有提出較好的改進算法。

4 結(jié)論

本文探討了諧波分析的基本理論，并給出了基于凌陽75F2413A系列單片機的采樣點數(shù)選擇和FFT的定點算法。但仍存在一些問題：

1) 對程序效率的分析

定點和查表法會提高程序的效率，但是我們沒有給出具體的數(shù)據(jù)比較。在仿真的時候我們嘗試使用VC中的庫，但是誤差較大，查考價值不足。

2) 使用內(nèi)存的估算

我們的程序最終是會移植到單片機上的，

單片機的速度和空間資源都很有限，我們沒有測試占用內(nèi)存的情況。由于只是階段性成果，因此還需要在以后的項目中改進。

3) 定點的運算精度的提高

由于我們也是剛接觸定點的運算，且以前也沒有實際的經(jīng)驗。雖然在DSP上定點的運算較多，且很多都包含在TI公司的IQmath庫里，但是在單片機上實現(xiàn)的資料較少，所以很多資料都是參考了他人的成果，文獻中都一一列出。提高精度還需要做進一步的研究。

參考文獻：

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