中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的線性回歸數(shù)據(jù)處理方法

物理實(shí)驗(yàn)中，不僅要用合理的實(shí)驗(yàn)方法測得所需要的數(shù)據(jù)，還要有合適的方法來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，才能得到正確地結(jié)論。

在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，測量的方法多種多樣，實(shí)驗(yàn)方法也是面面俱到，但是恰恰在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法上顯得過于單薄了。或許是考慮到中學(xué)生有限的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以教科書中僅列出了平均值法，逐差法和作圖法等有限的幾種。這些方法都有各自的局限性：平均值法簡單易行，但精度不夠高；逐差法能有效利用所有測得的數(shù)據(jù)，但應(yīng)用范圍小；畫圖法直觀簡單，但只能給出大致范圍，不能定量處理。

為解決在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中所遇到的以上問題，本文介紹一種符合高中學(xué)生思維水平，又有較強(qiáng)通用性和較高準(zhǔn)確度的數(shù)據(jù)處理方法：即線性回歸方法。

1 線性回歸法

線性回歸在高中數(shù)學(xué)課本中已有介紹。它可以用來處理線性相關(guān)的多組二元數(shù)據(jù)的問題。其推導(dǎo)方法雖較為繁復(fù)，但是均在中學(xué)生的知識(shí)范圍以內(nèi)。學(xué)生若覺得推導(dǎo)有困難，也可以只套用結(jié)論來處理問題。現(xiàn)在將推導(dǎo)過程陳述如下：

設(shè)現(xiàn)在有n組二元數(shù)據(jù)，編號(hào)為（x1，y1），(x2，y2)……(xn，yn)。

定義r=∑ni=1xiyi-n x y(∑ni=1X2I-n 2)(∑ni=1y2i-n 2)

為相關(guān)系數(shù)。當(dāng)｜r｜接近1，則可認(rèn)為該組數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)性。｜r｜越接近1，則相關(guān)性越高。

對(duì)于線性相關(guān)的數(shù)據(jù)，可以用一個(gè)一次函數(shù)來近似描述其關(guān)系，這個(gè)函數(shù)即被稱作回歸直線方程。不妨設(shè)該函數(shù)為y⌒=bx+a。求回歸直線即是求出方程中的未知系數(shù)b和a。

定義回歸直線是這樣的直線：該直線使得該組數(shù)據(jù)所代表的各點(diǎn)與該直線的偏差的平方和最小，即使得Q=∑ni=1(yi-y⌒)2=∑ni=1(yi-bxi-a)2最小。