中學物理實驗中的線性回歸數據處理方法
2008-12-31 00:00:00王莉
物理教學探討 2008年9期
物理實驗中，不僅要用合理的實驗方法測得所需要的數據，還要有合適的方法來對數據進行處理，才能得到正確地結論。
在中學物理實驗中，測量的方法多種多樣，實驗方法也是面面俱到，但是恰恰在實驗數據處理方法上顯得過于單薄了。或許是考慮到中學生有限的數學知識，所以教科書中僅列出了平均值法，逐差法和作圖法等有限的幾種。這些方法都有各自的局限性：平均值法簡單易行，但精度不夠高；逐差法能有效利用所有測得的數據，但應用范圍小；畫圖法直觀簡單，但只能給出大致范圍，不能定量處理。
為解決在物理實驗教學中所遇到的以上問題，本文介紹一種符合高中學生思維水平，又有較強通用性和較高準確度的數據處理方法：即線性回歸方法。
1 線性回歸法
線性回歸在高中數學課本中已有介紹。它可以用來處理線性相關的多組二元數據的問題。其推導方法雖較為繁復，但是均在中學生的知識范圍以內。學生若覺得推導有困難，也可以只套用結論來處理問題。現在將推導過程陳述如下：
設現在有n組二元數據，編號為（x1，y1），(x2，y2)……(xn，yn)。
定義r=∑ni=1xiyi-n x y(∑ni=1X2I-n 2)(∑ni=1y2i-n 2)
為相關系數。當｜r｜接近1，則可認為該組數據具有線性相關性。｜r｜越接近1，則相關性越高。
對于線性相關的數據，可以用一個一次函數來近似描述其關系，這個函數即被稱作回歸直線方程。不妨設該函數為y⌒=bx+a。求回歸直線即是求出方程中的未知系數b和a。
定義回歸直線是這樣的直線：該直線使得該組數據所代表的各點與該直線的偏差的平方和最小，即使得Q=∑ni=1(yi-y⌒)2=∑ni=1(yi-bxi-a)2最小。
以上推導和最后表達式均較為復雜，但在科學計算器上已有相應功能。下面以CASIO fx-82TL為例，說明一下如何使用計算器進行回歸計算。
2 用計算器進行回歸計算
打開計算器后，點擊MODE進入模式選擇。選擇3 REG，即進入回歸計算模式。再選擇1 LIN，即進入線性回歸計算。
這種線性回歸數據處理方法可以在很大程度上取代平均值法、逐差法和作圖法，并能取得更高的準確度。現僅舉一例如下：
實驗名稱：用單擺測重力加速度。
該實驗是利用測算單擺周期來求出當地的重力加速度。實驗裝置如圖1所示。
設單擺周期為T，擺長為L，當地重力加速度為g。由理論推導可知，單擺周期T=2πLg，所以g=4π2LT2。
實驗步驟：
(1)固定好實驗裝置。用米尺測量繩長l，用游標卡尺測量小球直徑D。擺長L =l+D/2。
(2)將小球拉開一個角度（<5度），放手后使其穩定擺動。當小球經過最低點時開始計時。共計30個周期，即小球60次通過最低點，測得總時間為t。平均周期T=t/30。
(3)將測得數據填入表1。
(4)改變擺長，重復1至3步。
表1中的數據是實驗所得的數據。由平均值法所得的重力加速度g=9.76。
若采用線性回歸。函數式：L=g/4π2*T2。L和T2成線性關系，可以使用線性回歸。利用計算器可知b=0.245。其中b=g/4π2，由此可得g=9.74，更符合本地的標準重力加速度。
從以上的例子可知，線性回歸在處理多組數據有其獨特的優勢。雖然這種方法的最后表達式比較復雜，難以筆算，但是在計算器日益普及的今天，這種有更高精確度和科學性的方法應該在高中實驗教學中大力推廣，以彌補這方面的不足。
(欄目編輯王柏廬)
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
