談對(duì)動(dòng)能定理的理解

動(dòng)能定理是高中物理知識(shí)體系中的一個(gè)重要知識(shí)，不可或缺，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生常常出現(xiàn)不會(huì)運(yùn)用或者理解出錯(cuò)，我覺得這跟教材有一定的關(guān)系。

高中物理(人教版試驗(yàn)修訂本)第一冊(cè)142頁(yè)是這樣講述動(dòng)能定理的：

教材在復(fù)習(xí)初中動(dòng)能的基礎(chǔ)上，在一個(gè)非常簡(jiǎn)單的情形（合力為一個(gè)推力）下，根據(jù)做功的多少，來定量確定動(dòng)能（動(dòng)能的變化）?！啊璚=EK2-EK1……上式表示，外力所做的功等于動(dòng)能的變化……”然后再推廣到如果物體受到幾個(gè)力的共同作用，則上式中的W表示各個(gè)力做功的代數(shù)和，即合力所做的功，最終得出結(jié)論“合力所做的功等于物體動(dòng)能的變化”。

從上述描寫來看，動(dòng)能定理中的合力做功應(yīng)指合外力做功，那么內(nèi)力做功影響不影響系統(tǒng)的總動(dòng)能呢？是不是與牛頓定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理中類似，只考慮外力的影響，內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)能的變化不作貢獻(xiàn)？

例 在水平光滑的地面上，靜止放著一質(zhì)量為M的足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板的左端沖上一個(gè)質(zhì)量為m初速度為v0的小物體，物體和長(zhǎng)木板之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ

若選M為研究對(duì)象，有:

12Mv2-0=μmgSMcos0°=μmgSM①

若選m為研究對(duì)象，有:

12mv2-12mv20=μmgSmcos180°=-μmgSm②



把以上兩式相加，有

12（m+M）v2-12mv20=μmgSmcos180°=μmg(SM-Sm)≠0③

若選m、M整體為研究對(duì)象，合外力為零，有:

12(m+M)v2-12mv20=0④

顯然，從能的轉(zhuǎn)化來看， m與M摩擦生熱， m、M整體的總動(dòng)能一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，總動(dòng)能要減少， 上面的④式是錯(cuò)誤的，即內(nèi)力做功要改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。

從大學(xué)教科書力學(xué)基礎(chǔ)可知高中課本上所講的動(dòng)能定理應(yīng)該叫質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，不適用于質(zhì)點(diǎn)組(或系統(tǒng))，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理是“質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的增量在數(shù)值上等于一切外力所作功與一切內(nèi)力所作功的代數(shù)和”。

但是介于學(xué)生已經(jīng)學(xué)了牛頓定律，知道內(nèi)力不影響物體的加速度，以及后面很快要學(xué)到的動(dòng)量定理，也是內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總動(dòng)量，教材這樣講述動(dòng)能定理，會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生誤以為內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總動(dòng)能的改變量。

2003年全國(guó)高考理科綜合最后一題(即34題)就有非常多的學(xué)生解題時(shí)漏掉了內(nèi)力做功(即摩擦生熱)，而這種典型錯(cuò)誤，往往是那些對(duì)動(dòng)能定理理解不準(zhǔn)確不深入的學(xué)生所犯的，如果在教學(xué)中能恰當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充內(nèi)力做功也要影響系統(tǒng)的動(dòng)能的變化，這對(duì)減少這種典型錯(cuò)誤將大有好處，或者在教材的編寫過程中，能避免這種可能對(duì)學(xué)生的誤導(dǎo)，那就更好了。

下面兩個(gè)例題是與動(dòng)能定理密切相關(guān)的高考題，各位讀者從中可以細(xì)加體會(huì)。

例1 （2004年高考全國(guó)卷3）如圖，長(zhǎng)木板ab的b端固定一檔板，木板連同檔板的質(zhì)量為M=4.0kg，a、b間距離s=2.0m，木板位于光滑水平面上.在木板a端有一小物塊，其質(zhì)量m=1.0kg，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，它們都處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)令小物塊以初速v0=4.0m/s沿木板向前滑動(dòng)，直到和檔板相撞，碰撞后，小物塊恰好回到a端而不脫離木板，求碰撞過程中損失的機(jī)械能。



學(xué)生解題時(shí)典型錯(cuò)誤有兩個(gè): 1.直接把E=12mv20-12(m+M)v2當(dāng)成是碰撞過程中損失的機(jī)械能，忘記內(nèi)力做功(即摩擦生熱); 2.不會(huì)計(jì)算小物塊與木板間的一對(duì)滑動(dòng)摩擦力所做總功，即摩擦生熱的多少。

所以知道內(nèi)力做功要改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，以及如何計(jì)算內(nèi)力做功(改變系統(tǒng)的總動(dòng)能)很重要。

正確的解法如下:

解 設(shè)木塊和物塊最后共同的速度為v，由動(dòng)量守恒定律mv0=(m+M)v①

設(shè)全過程損失的機(jī)械能為E，E=12mv20-12(m+M)v2②

用s1表示從物塊開始運(yùn)動(dòng)到碰撞前瞬間木板的位移，W1表示在這段時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)木板所做的功，用W2表示同樣時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)物塊所做的功，用s2表示從碰撞后瞬間到物塊回到a端時(shí)木板的位移，W3表示在這段時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)木板所做的功，用W4表示同樣時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)物塊所做的功，用W表示在全過程中摩擦力做的總功，則

W1=μmgs1③

W2=-μmg(s1+s)④

W3=-μmgs2⑤

W4=μmg(s2-s)⑥

W=W1+W2+W3+W4⑦

用E1表示在碰撞過程中損失的機(jī)械能，則E1=E－W⑧

由①-⑧式解得E1=12mMm+Mv20-2μmgs⑨

代入數(shù)據(jù)得E1=2.4J⑩

例2 （2005年高考天津卷）如圖所示，質(zhì)量mA為4.0kg的木板A放在水平面C上，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.24，木板右端放著質(zhì)量mB為1.0kg的小物塊B（視為質(zhì)點(diǎn)），它們均處于靜止?fàn)顟B(tài)，木板突然受到水平向右的12N#8226;s的瞬時(shí)沖量I作用開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物塊滑離木板時(shí)，木板的動(dòng)能EM為8.0J，小物塊的動(dòng)能為0.50J，重力加速度取10m/s2，求



（1）瞬時(shí)沖量作用結(jié)束時(shí)木板的速度v0

（2）木板的長(zhǎng)度L

在本例中，若學(xué)生對(duì)A、B整體直接用動(dòng)能定理(合力所做的功等于物體動(dòng)能的變化)，有

-FCASA=(12mAv2A+12mBv2B)-(12mAv20+0) ，顯然就錯(cuò)了。

本例很像是要把動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒結(jié)合求解，但是由于地面不光滑，A、B位移都不知道，所以僅僅用動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒相結(jié)合很難求解出來.正確的解法如下:

解 (1)設(shè)水平向右為正方向，有

I=mAv0①

代入數(shù)據(jù)解得v0=3.0m/s②

(2)設(shè)A對(duì)B、B對(duì)A、C對(duì)A的滑動(dòng)摩擦力的大小分別為FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的時(shí)間為t，B離開A時(shí)A和B的速度分別為vA和vB，有

-（FBA+FCA）t=mAvA-mAv0③

FABt=mBtB④

其中FAB=FBA FCA=μ(mA+mB)g⑤

設(shè)AB相對(duì)于C的位移大小分別為SA和SB，有

-（FBA+FCA）sA=12mAv2A-12mAv20⑥

FABsB=EkB⑦

動(dòng)量與動(dòng)能之間的關(guān)系為

mAvA=2mAEkA⑧

mBvB=2mBEkB⑨

木板A的長(zhǎng)度L=SA-SB⑩

代入數(shù)據(jù)解得L=0.50m○11