“偷懶”的茶炊

在學校里或火車站、汽車站等公共場所，總會擺放幾個供水的茶炊，給人們的飲水提供方便。在生活中我卻發現茶炊有時也會“偷懶”了，當茶炊里的水較滿時，打開龍頭，杯子里的水很快就滿了，但當茶炊里的水較少時，同樣放滿一杯水需要的時間要長得多。有人因此而提出了一個有趣的問題：把一個可以裝下30杯水的茶炊里裝滿水，如果流出一杯水需要半分鐘，那么請問：讓龍頭開著，要多少時間才能使茶炊里的水流完？這好像是連小孩子都能解答的算術題目：流出一杯水需要半分鐘，那么流出30杯水自然需要15分鐘。簡單是簡單，可并不見得對。你可以試驗一下，試驗的結果是：流完一茶炊水所需要的時間并不是你所想象的15分鐘，而是半小時。

問題 茶炊流水的快慢與什么因素有關？

分析 水從茶炊里流出來的速度是不斷變化的，第一杯水從茶炊里流出來以后，水流受到的壓力已經因為茶炊里的水位降低而減小了。顯然，要把第二個杯子裝滿，就得用比半分鐘更多的時間；裝滿第三杯，時間還要長些……裝在沒有蓋的容器里的任何一種液體，從孔里流出來的速度跟孔上面液體柱的高度成正比。伽利略的學生托里拆利首先說明了這個關系，并且用簡單的公式把它表示出來：v=2gh。在公式中，v代表液體流出的速度，g代表重力加速度，h代表孔到液面的高度。從這個公式可以看出，液體流動的速度跟液體的密度完全沒有關系：輕的酒精和重的水銀在液面高度相同的情況下，從孔里流出來的速度是相同的。從這個公式還可以看出，在重力加速度只有地球的1/6的月球上，流滿一杯水所需要的時間，為地球上所需要的時間的6倍。

實驗 測量茶炊流出一定體積的水需要的時間，通過實驗尋找規律。

實驗器材 茶炊（內徑d1=33.6cm、水龍頭出水口內徑d2=0.53cm、茶炊口到出水口的距離h=28.5cm）、燒杯（容積為1200ml）、刻度尺、秒表、水。

實驗步驟 （1）用刻度尺測量茶炊的內徑d1=33.6cm、水龍頭出水口內徑d2=0.53cm、茶炊口到出水口的距離h=28.5cm。

（2）將茶炊灌滿水，在茶炊的水龍頭下放置一只燒杯（1200ml）。

（3）用秒表測出流滿一燒杯水的時間t。

（4）重復實驗步驟（3），分別測出流滿第2杯、第3杯、第4杯…的時間t。將數據記錄在表格中。

實驗數據 （略）

數據分析 （1）通過實驗數據的分析可以得到：對于同一個茶炊，其裝滿每一杯水的時間與水的高度有關，高度越高，水的流速越快，所用

時間越少。

（2）流滿第一杯水的時間t1=22.75s。

若水的流速不變，那么流滿21杯水所用的總時間為：

t=t1×21=22.75s×21=477.75s。

但實際水的流速越來越慢，實驗測定的茶炊流滿21杯水所用總時間為：

t′=941.06s。

比較t和t′，發現t′:t=1.97≈2

回想前面提出的問題：流出一杯水需要半分鐘，那么流出30杯水是15分鐘嗎？流完一茶炊水所需要的時間不是15分鐘，而是15分鐘的2倍，結論是半小時。

到此為止，我們還只能通過實驗得出的數據作一個初步的探討，下面我們通過建立物理模型來進行深入的研究。

物理模型 由流體力學的知識可知，裝在沒有蓋的容器里的任何一種液體，從孔里流出來的速度跟孔上面的液體柱的高度有關，即v=2gh，v代表液體流出的速度，g代表重力加速度，h代表孔到液面的高度。

根據容器里的液體流量和水龍頭里的液體流量大小相等可得到：

S1×ΔhΔt=S2×v。

v=2gh代入上式得到：

S1×ΔhΔt=S2×2gh，

Δt=S1S2×Δh2gh，

t=-S1S2×12g∫h2h11hdh。

茶炊里的一定體積的液體（液體從高度h1降到h2）流入杯中所需要的時間：

t=S1S2×2g×(h1-h2)。

由公式得到：時間的長短不僅和液面的高度有關，還和容器的底面積、出水口的面積以及重力加速度的大小有關。

我們推導出計算流水時間的公式后，就可以來驗證一下理論值和實驗結論是否一致，如果一致，我們就可以說建立的物理模型是合理的

∵t=S1S2×2g×(h1-h2)。

在實驗中研究的茶炊的內徑為d1，龍頭出水口的內徑為d2。

∴t=(d1d2)2×2g×(h1-h2)，

t=(33.60.53)2×29.8×(h1-h2)

=1815.65(h1-h2)。

表1 理論值和實驗數據的比較

實驗次數水的高度h1(cm)水的高度h2(cm)水流出的時間t(s)(理論計算值)水流出的時間t(s)(實驗測量值)

1.通過分析、比較理論值和實驗的計算結果，數據比較接近。由于實驗中動作的反映快慢以及觀察的精確性都會造成一定的誤差，因此，我認為建立的物理模型是合理的。

2.應用公式驗證下面的結論：使一個容器中的液體完全流空所需要的時間，比同體積的液體在原來的液面高度不變的情況下完全流出所需要的時間增加一倍。

∵t=S1S2×2g×(h1-h2)。

∴使一個容器中的液體完全流空所需要的時間t=S1S2×2g×h。

同體積的液體在原來的液面高度不變的情況下完全流出所需要的時間為t′。

∵S1×ht′=S2×v，

S1×ht′=S2×2gh，

∴t′=S1S2×12g×h，

∴tt′=212=2。

結論 使一個容器中的液體完全流空所需要的時間，比同體積的液體在原來的液面不變的情況下完全流出所需要的時間增加一培。

3.應用公式解決生活、生產中的實際問題。

問題：在一個水槽上安裝著2個水龍頭。只打開第1個龍頭，可以用5小時把滿槽的水放完；只打開第2個龍頭，可以用10小時把滿槽的水放完。那么請問，如果把2個水龍頭同時打開，經過多少小時滿槽的水會流空呢？

分析：這是一個水槽流水的時間問題，與茶炊問題相類似，可根據公式t=S1S2×2g×(h1-h2)進行研究。

由公式可知：2個水龍頭的放水時間不同的原因是因為水龍頭出水口的橫截面積大小不同。

解答：設水槽的橫截面積為S，第1個龍頭出水口的橫截面積為S1，第2個龍頭出水口的橫截面積為S2，龍頭的出水口到水槽口的高度為h。

∵第1個龍頭放完水的時間：

t1=SS1×2g×h。(1)

第2個龍頭放完水的時間：

t2=SS2×2g×h。(2)

2個龍頭同時放水的時間：

t=SS1+S2×2g×h。(3)

由（1）/（2）得到：t1t2=S2S1，

由（3）/（1）得到：tt1=S1S2+S1，

∴tt1=S1S2+S1=11+S2S1

=11+t1t2

=t2t1+t2，

∴t=t1×t2t1+t2。

則：t=10×510+5小時=103小時。

即如果把2個水龍頭同時打開，經過103小時滿槽的水就會流空。

在實際生活中我們會遇見許多有趣的問題，如果我們在沒有科學依據的情況下想當然的思考問題，就會犯錯誤，只有學習和掌握科學的探究方法，才能獲得成功。

參考文獻：

［1］雅#8226;依#8226;別萊利曼.《趣味物理學續編》［M］.中國青年出版社.1979年

(欄目編輯羅琬華)