決戰(zhàn)邏輯推理

“聰明的鳴人同學(xué)，聽(tīng)說(shuō)你最近迷上了柯南！”小櫻笑嘻嘻地說(shuō)。

“對(duì)，我要做忍者界的‘神探柯南’！”鳴人快樂(lè)地答道。

“嗯，不錯(cuò)，有志氣，那我考考你吧！你知道柯南破案時(shí)，最常用的方法是什么嗎？”小櫻的微笑有點(diǎn)不懷好意。

“哈哈哈哈，這太簡(jiǎn)單了！”鳴人樂(lè)得手舞足蹈，“當(dāng)然是邏輯推理啦，柯南推理起案件來(lái)，環(huán)環(huán)相扣，就如同自己親眼目睹案件的經(jīng)過(guò)一樣?！?/p>

“嗯，回答正確，那么你知道什么叫作‘邏輯推理’嗎？”小櫻拋出了一個(gè)問(wèn)題砸在鳴人頭上。

“邏輯推理？”鳴人轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)眼珠說(shuō)，“你說(shuō)了問(wèn)我一個(gè)問(wèn)題的，可是現(xiàn)在是第二個(gè)問(wèn)題了，我有權(quán)不回答?！?/p>

小櫻腳下一軟，差點(diǎn)坐在地上。過(guò)了半天才說(shuō)：“好，好。那我請(qǐng)老師給你講講什么叫作邏輯推理，有請(qǐng)史老師！”

有這樣一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，解答它無(wú)須很多計(jì)算，只要根據(jù)條件和問(wèn)題，仔細(xì)分析，合理推斷，然后作出正確的選擇，最終便可得出結(jié)論。這類問(wèn)題就是邏輯推理問(wèn)題。由于邏輯推理問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，解決問(wèn)題的方法和形式多，這里我們只能列舉幾種常見(jiàn)的方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)。

一、假設(shè)推理法

例1地理老師在黑板上掛了一張世界地圖，并給五大洲的每一個(gè)洲都標(biāo)上一個(gè)代號(hào)，讓學(xué)生認(rèn)出五個(gè)洲，五個(gè)學(xué)生分別回答如下：

甲:3號(hào)是歐洲，2號(hào)是美洲；

乙：4號(hào)是亞洲，2號(hào)是大洋洲；

丙：1號(hào)是亞洲，5號(hào)是非洲；

?。?號(hào)是非洲，3號(hào)是大洋洲；

戊：2號(hào)是歐洲，5號(hào)是美洲。

老師說(shuō)他們每人都只說(shuō)對(duì)了一半，那么1至5號(hào)分別是哪個(gè)洲？

分析與解：假設(shè)甲說(shuō)的前半句是對(duì)的，則3號(hào)是歐洲，由此推出丁說(shuō)的3號(hào)是大洋洲是錯(cuò)誤的。由于每個(gè)人都只說(shuō)對(duì)了一半，可知丁說(shuō)的4號(hào)是非洲是對(duì)的，由此推出乙說(shuō)的4號(hào)是亞洲是錯(cuò)的，2號(hào)是大洋洲是對(duì)的。又可推出戊說(shuō)的2號(hào)是歐洲是錯(cuò)的，5號(hào)是美洲是對(duì)的，由此推出丙說(shuō)的5號(hào)是非洲是錯(cuò)的，1號(hào)是亞洲是對(duì)的，最后得到正確的結(jié)論是：1號(hào)是亞洲，2號(hào)是大洋洲；3號(hào)是歐洲；4號(hào)是非洲，5號(hào)是美洲。

例2數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)的負(fù)責(zé)人決定組織同學(xué)們參觀實(shí)驗(yàn)學(xué)校計(jì)算機(jī)中心的機(jī)房，聯(lián)系參觀的老師說(shuō)：“有五個(gè)機(jī)房可以參觀，但有下列約束條件。①若去甲機(jī)房，也必須去乙機(jī)房；②丁機(jī)房和戊機(jī)房至少去一處；③乙機(jī)房和丙機(jī)房必須去一處而且只能去一處；④丙機(jī)房和丁機(jī)房都不去或都去；⑤若去戊機(jī)房，那么甲機(jī)房和丁機(jī)房?jī)商幰脖仨毴?。?/p>

他們參觀了哪幾個(gè)機(jī)房？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析與解：在五個(gè)約束條件中，“③乙機(jī)房和丙機(jī)房必須去一處而且只能去一處”，不妨從這點(diǎn)入手，假設(shè)去乙（或丙）后往下推。

比如，我們不妨假設(shè)去乙機(jī)房，則不能去丙機(jī)房；又由“④丙機(jī)房和丁機(jī)房都不去或都去”知道也不去丁機(jī)房；再由“②丁機(jī)房和戊機(jī)房至少去一處”推出應(yīng)該去戊機(jī)房；由“⑤若去戊機(jī)房，那么甲機(jī)房和丁機(jī)房?jī)商幰脖仨毴ァ笨梢酝浦仨毴ゼ住⒍商?。（這個(gè)結(jié)論與前面條件“④丙機(jī)房和丁機(jī)房都不去或都去”矛盾）。

因而一定是去丙機(jī)房，不去乙機(jī)房；由④知道去丁機(jī)房；接下來(lái)由①知道甲、乙機(jī)房都不去；這樣由⑤知道戊機(jī)房也不去。

綜上所述，參觀的地點(diǎn)是丙機(jī)房和丁機(jī)房。

以上兩題是根據(jù)已知條件先作一個(gè)假設(shè)，然后利用已知條件一步一步往下推，直到推出結(jié)論為止。如果從這個(gè)假設(shè)出發(fā)推出自相矛盾的結(jié)論，這就說(shuō)明所作的假設(shè)不成立，而假設(shè)的反面就一定是成立的。

二、枚舉排除法

例3下圖是標(biāo)有1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)的一個(gè)正方體的三種不同放法，圖中每個(gè)正方體朝左的那一面的數(shù)的和是多少？

分析與解：（1）從第一個(gè)圖可以看出，3的對(duì)面不是1和2；從第二個(gè)圖可以看出，3的對(duì)面不是4；從第三個(gè)圖可以看出3的對(duì)面不是6，從而可知：3的對(duì)面一定是5；（2）同理，從第一個(gè)和第三個(gè)圖及（1）中可知，1的對(duì)面不是2，3，6，5，所以1的對(duì)面是4，因此圖中每個(gè)正方體朝左的那一面的數(shù)的和是5+4+1=10。

本題從三個(gè)圖形的各個(gè)側(cè)面，排除了所有不符合條件的結(jié)論，剩下的就是所要找的結(jié)論。這就是枚舉排除法。

運(yùn)用這個(gè)方法我們可以來(lái)解決如下有趣的推理問(wèn)題：

例4四張卡片上分別寫(xiě)著努、力、學(xué)、習(xí)四個(gè)字（一張上寫(xiě)一個(gè)），取出其中三張覆蓋在桌面上，甲、乙、丙三人分別猜每張卡片上是什么字，具體如下表：

結(jié)果每一張上的字至少有一人猜中，所猜三次中，有人一次也沒(méi)猜中，有兩人分別猜中兩次和三次。

這三張卡片上各是什么字？

分析與解：因?yàn)橛幸蝗巳味疾轮校瑥倪@一點(diǎn)著手分析。

如果甲三次都猜中，三張卡片上依次是力、努、習(xí)這三個(gè)字，那么乙猜中兩次（第一和第三），丙猜中一次，題目條件中沒(méi)有人恰好猜中一次，丙猜中一次與條件不符。

如果乙三次都猜中，那么甲猜中兩次，丙一次也未猜中，與題目條件完全符合，因此這三張卡片的字依次是力、學(xué)、習(xí)。

特別提醒：分析并沒(méi)有結(jié)束，還有一種情況沒(méi)有分析，我們雖然找到了問(wèn)題的答案，但還是應(yīng)該繼續(xù)分析“丙三種都猜中”這種情況，此時(shí)甲只猜中一次（第二次），與題目條件不符。

至此，我們可以下結(jié)論了，這三張卡片的字依次是：力、學(xué)、習(xí)。

例5數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，小明、小華、小強(qiáng)各獲得一枚獎(jiǎng)牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。王老師猜測(cè)：“小明得金牌，小華不得金牌，小強(qiáng)不得銅牌?！苯Y(jié)果王老師只猜對(duì)了一個(gè)。那么小明得的是什么獎(jiǎng)牌？小華得的是什么獎(jiǎng)牌？小強(qiáng)得的是什么獎(jiǎng)牌？

分析與解：不妨以小明所得獎(jiǎng)牌進(jìn)行分析。

①若小明得金牌時(shí)，小華一定不得金牌，這與“王老師只猜對(duì)了一個(gè)”相矛盾，不合題意。

②若小明得銀牌，再以小華得獎(jiǎng)情況分別討論。如果小華得金牌，小強(qiáng)得銅牌，那么王老師沒(méi)有猜對(duì)一個(gè)，不合題意；如果小華得銅牌，小強(qiáng)得金牌，那么王老師猜對(duì)了兩個(gè)，也不合題意。

③若小明得銅牌，仍以小華得獎(jiǎng)情況分別討論。如果小華得金牌，小強(qiáng)得銀牌，那么王老師只猜對(duì)小強(qiáng)得獎(jiǎng)牌的名次，符合題意；如果小華得銀牌，小強(qiáng)得金牌，那么王老師猜對(duì)了兩個(gè)，不合題意。

綜上所述，小明、小華、小強(qiáng)分別獲銅牌、金牌、銀牌。

邏輯問(wèn)題通常直接采用正確的推理，逐一分析，討論所有可能出現(xiàn)的情況，舍棄不合理的情形，最后得到符合題意的解答。

三、圖形分析法

例6A、B、C、D、E這五個(gè)同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)，到現(xiàn)在為止，A賽了4盤(pán)，B賽了3盤(pán)，C賽了2盤(pán)，D賽了1盤(pán)，問(wèn)E已經(jīng)賽了幾盤(pán)？

分析與解：用五個(gè)點(diǎn)分別表示五個(gè)人（如下圖），兩點(diǎn)間連一條線段，表示兩個(gè)人賽了一盤(pán)，A賽了4盤(pán)，須與B、C、D、E四點(diǎn)用線段連接起來(lái)。D賽了１盤(pán)，已與A連接過(guò)了，由題意可知其他點(diǎn)不能與D再連接了。根據(jù)題目條件可知B賽了3盤(pán)，須與C、E兩點(diǎn)連接，這樣C已經(jīng)連接了兩條線段了，不能再與其它點(diǎn)連接了。從圖中可見(jiàn)，E與A、B各賽了1盤(pán)，既E已賽了2盤(pán)。

［例7］有一天，李強(qiáng)、王磊、丁紅、孫儷四名運(yùn)動(dòng)員圍坐在桌旁聊天，已知：

① 丁紅的對(duì)面是足球運(yùn)動(dòng)員；

② 李強(qiáng)的左邊是籃球運(yùn)動(dòng)員；

③ 孫儷的對(duì)面是王磊；

④ 籃球運(yùn)動(dòng)員與乒乓球運(yùn)動(dòng)員不相鄰；

⑤ 排球運(yùn)動(dòng)員的右邊是孫儷。

根據(jù)上面的情況判斷，王磊職業(yè)是什么？

分析與解：由③、⑤兩個(gè)條件可畫(huà)出下圖（a）；由條件④可進(jìn)一步畫(huà)出圖（b）；由條件①又可補(bǔ)充畫(huà)出圖（c）；最后由條件②可畫(huà)出圖（d），這樣我們一眼就能看出王磊是乒乓球運(yùn)動(dòng)員。

根據(jù)題目條件，畫(huà)一個(gè)平面圖形，再借助圖形分析求解，這種方法就稱為圖形分析法。

四、列表法

例8在國(guó)際飯店的宴會(huì)桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友進(jìn)行有趣的交談，用了漢、英、法、日四種語(yǔ)言，知道的情況如下:

①甲、乙、丙各會(huì)兩種語(yǔ)言，丁只會(huì)一種語(yǔ)言；

② 有一種語(yǔ)言四人中有三人都會(huì)；

③ 甲會(huì)日語(yǔ)，丁不會(huì)日語(yǔ)，乙不會(huì)英語(yǔ)；

④ 甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；

⑤ 沒(méi)有人既會(huì)日語(yǔ)，又會(huì)法語(yǔ)。

甲會(huì)什么語(yǔ)言？乙會(huì)什么語(yǔ)言？丙會(huì)什么語(yǔ)言？丁會(huì)什么語(yǔ)言？

分析與解：這是條件比較復(fù)雜的問(wèn)題，使用列表法進(jìn)行分析推理有助于解題。在肯定的一格打“√”，在否定的一格打“×”。

由③知，“甲、日”格打“√”，“丁、日”格打“×”，“乙、英”格打“×”。

由⑤知，“甲、法”格打“×”；由④甲與丙不能直接交談，“丙、日”格打“×”。

由②與④丙與丁不能直接交談，三人都會(huì)的語(yǔ)言不可能是英語(yǔ)或法語(yǔ)，只可能是漢語(yǔ)。由④甲與丙不能直接交談，“甲、漢”格打“√”，“乙、漢”格打“√”，“丙、漢”格打“×”，“丁、漢”格打“√”。

由①知，“甲、英”格打“×”，“丁、英”格打“×”，“丁、法”格打“×”。

由④乙與丙可以直接交談，“乙、法”格打“√”，“丙、法”格打“√。”

由①知，“乙、日”格打“×”，“丙、英”格打“√”。

所以，甲會(huì)漢語(yǔ)和日語(yǔ)，乙會(huì)漢語(yǔ)和法語(yǔ)，丙會(huì)英、法語(yǔ)，丁只會(huì)漢語(yǔ)。

當(dāng)需要分析的情況較多時(shí)，特別是層次較多時(shí)，使用表格就非常方便，本題就是使用列表法解題的一個(gè)較好的例子。表格要自己設(shè)計(jì)，才能使解題得心應(yīng)手，學(xué)會(huì)使用表格和設(shè)計(jì)表格是一種很直觀、有效的解題本領(lǐng)。

活學(xué)活用

1. 甲、乙、丙三人進(jìn)行跑步比賽。A、B、C三人對(duì)比賽結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。A說(shuō)：“甲肯定是第一名?！盉說(shuō)：“甲不是最后一名?！盋說(shuō)：“甲肯定不是第一名?！逼渲兄挥幸蝗藢?duì)比賽結(jié)果的預(yù)測(cè)是對(duì)的。預(yù)測(cè)對(duì)的是（）。

2. A、B、C、D、E和F六人圍坐在一張圓桌旁。

B是坐在A右邊的第二人。

C是坐在F右邊的第二人。

D坐在E的正對(duì)面，還有F和E不相鄰。

那么，坐在A和B之間的是（）。

3. 甲、乙、丙、丁與小明五位同學(xué)進(jìn)入象棋決賽。每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)，每勝一盤(pán)得2分，和一盤(pán)得1分，輸一盤(pán)得0分。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤(pán)，共得了2分；乙賽了3盤(pán)，得了4分；丙賽了2盤(pán)，得了1分；丁賽了1盤(pán)，得了2分。那么小明現(xiàn)在已賽了（）盤(pán)，得了（）分。

4. 曹、錢(qián)、劉、洪四個(gè)人出差，住在同一個(gè)招待所。一天下午，他們分別要找一個(gè)單位去辦事。甲單位星期一不接待，乙單位星期二不接待，丙單位星期四不接待，丁單位只在星期一、三、五接待，星期日四個(gè)單位都不接待。

曹：“兩天前，我去了一次，人家不接待。今天還要再去一次，可以與老洪同走一條路?！?/p>

錢(qián)：“今天我一定得去，要不明天人家就不接待了?！?/p>

劉：“這星期的前幾天和今天我去都能辦事。”

洪：“我今天和明天去，對(duì)方都接待?！?/p>

那么，這一天是星期（），劉要去（）單位，錢(qián)要去（）單位，曹要去（）單位，洪要去（）單位。

5. 四位外國(guó)朋友住在十八層高的飯店里。他們分別來(lái)自埃及、法國(guó)、朝鮮和墨西哥。

① A住的層數(shù)比C住的層數(shù)高，但比D住的層數(shù)低；

② B住的層數(shù)比朝鮮人住的層數(shù)低；

③ D住的層數(shù)恰好是法國(guó)人住的層數(shù)的5倍；

④ 如果埃及人住的層數(shù)增加2層，他與朝鮮人相隔的層數(shù)，恰好和他與墨西哥人相隔的層數(shù)一樣；

⑤ 埃及人住的層數(shù)是法國(guó)人和朝鮮人住的層數(shù)的和。

根據(jù)上述情況，請(qǐng)你確定A是（）人，住在（）層；B是（）人，住在（）層；C是（）人，住在（）層；D是（）人，住在（）層。

6. 小趙的電話號(hào)碼是一個(gè)五位數(shù)，它由五個(gè)不同的數(shù)字組成。小張說(shuō)：“它是84261。”小王說(shuō)：“它是26048?！毙±钫f(shuō)：“它是49280。”小趙說(shuō)：“誰(shuí)說(shuō)的某一位上的數(shù)字與我的電話號(hào)碼上的同一位數(shù)字相同，就算誰(shuí)猜對(duì)了這個(gè)數(shù)字?，F(xiàn)在你們每人都猜對(duì)了位置不相鄰的兩個(gè)數(shù)字。”這個(gè)電話號(hào)碼是（）。