以退為進解題策略例舉

著名數學家華羅庚說過，關于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。這句話道出了解決數學問題的一個重要策略——以退為進，退是為了更好地進。運用這一解題策略，從復雜退到簡單、從一般退到特殊、從抽象退到具體、從整體退到部分、從正面退到反面，就能使許多復雜的問題得以解決。現舉例如下：

1.從復雜退到簡單。

例1 修一條公路，第一天修好全長的一半多10米，第二天修好余下的1/3少3米，還剩125米沒修。這條公路有多長?

分析與解答：此題比較復雜，我們不妨先退一步想：要是第二天修的正好是余下的1/3，那么剩下未修的就是125-3=122(米)，相當于第一天余下的1-1/3=

2/3，則余下的就是122÷2/3=183(米)。再繼續這樣想：要是第一天修的正好是全長的一半，那么第一天后余下的就是183+10=193(米)，相當于全長的1-1/2=1/2。所以，這條路的全長是193÷1/2=386(米)。

2.從一般退到特殊。

例2 求圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)

分析與解答：此題解法不止一種，按照一般的解題思路來解答比較繁瑣，如果采用特殊的方法——“翻折法”，問題則會得到迅速解決。沿著半徑對稱軸把左邊的1/4圓翻折到右邊，與右邊的1/4圓重疊(如上圖)。這樣，左邊的陰影部分就和右邊的陰影部分拼湊成一個底為6厘米、高為3厘米的三角形，所以陰影部分的面積為6×3÷2=9(平方厘米)。

3.從抽象退到具體。

例3 某商品因滯銷而降價1/10，后來該商品又成暢銷物品，因而又提價1/10，問提價后與原價相比其價格是升了還是降了?

分析與解答：此題比較抽象，加之標準量在變化，更增加了解題的難度。如果把它們從抽象退到具體的問題上來討論，問題就會迎刃而解。假設這件商品原價為1元，那么降價1/10后應賣1元×(1-1/10)=0.90(元)；成暢銷物品后，又提價1/10，這時應賣0.90元×(1+1/10)

=0.99(元)。如此類推，不論該物品原價是多少，提價后與原價相比其價格總比原價降了它的1％。

4.從整體退到部份。

分析與解答：此題用常規的先通分再加減的方法計算比較復雜。我們不妨先退一步，考察算式中一部分的情況，待找出規律后再來求整個算式的結果。

5.從正面退到反面。

例5 有一樣重的5筐蘋果，如果從每筐拿出30千克蘋果，那么剩下的蘋果正好能裝滿兩個筐。原來每筐里裝多少千克蘋果?

分析與解答：此題如果直接從正面去分析，會束手無策。如果從條件的反面去思考，問題則會化難為易。從“剩下的蘋果正好能裝滿個筐”去考慮，那么就可理解為“拿出的蘋果能裝滿3個筐”。這樣，原來每筐里裝多少蘋果就可求出，即30×5÷(5-2)=150÷3=50(千克)。

思考：

1.修一段公路，第一天修全程的1/3還多3千米，第二天修余下的1/2還少2千米，還剩下22千米沒修完。求公路的全長是多少千米。

2.一艘輪船往返于甲、乙兩碼頭一次。問靜水中船行所花時間長，還是流水中船行所花時間長，或所花時間一樣長?

3.當水結成冰時體積增加1/11，當冰化成水時，體積要減少幾分之幾?

6.某體校田徑隊原有運動員80名，其中女運動員占37.5％，后來調進女運動員若干名，這時女運動員占6/11。問后來調進女運動員多少名?

7.池塘水面上生長著浮萍，浮萍所占的水面面積每天增長一倍。經過100天后，整個池塘長滿了浮萍。問經過多少天浮萍所占面積是池塘面積的一半?