直擊《整式的加減》中的數學思想

數學思想是數學的靈魂 學習整式的加減，不但要熟練地掌握運算法則進行整式的加減運算，而且還要了解其中蘊藏的數學思想方法下面對《整式的加減》的數學思想方法進行歸納、總結

一、特殊與一般的思想

本章中用字母表示數（列代數式）體現了由特殊到一般的思想；反過來，用指定的數值代替代數式里的字母計算代數式的值的過程，則體現了由一般到特殊的思想巧用特殊與一般的辯證思想，可以創造性地解決問題

例1 已知abc=1，則++的值是

分析：根據“如果一個命題在一般情況下成立，那么它在特殊情況下也必然成立”的原理，對條件取特殊值代入求值式進行計算，則十分簡捷

解答：因為abc=1，所以，不妨取a=b=c=1，

于是，原式=++=++=1

評注：對于七年級的同學而言，此題若不用取特殊值的方法解答，則顯得十分艱難

二、整體思想

所謂整體思想，就是在解決數學問題時，不是“一葉障目”，而是從大處著眼，由整體入手，通過觀察和分析找出整體與局部的聯系，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑的一種思維方法整體思想是貫穿本章的一根紅線，許多數學問題，運用這種思想方法，可化繁為簡，變難為易

例2 若代數式2a2-3a+4的值為6，則代數式a2-a-1的值為

.

分析：由條件可整體求得a2-a的值，使得答案唾手可得

解答：因為2a2-3a+4=6，所以2a2-3a=2

所以a2-a=，

所以原式=-1=-

評注：此例若考慮由條件求出a的值，再代入a2-a-1中計算則相當繁瑣.

三、方程思想

所謂方程思想就是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法

在本章中，涉及由“兩多項式恒等，則對應項的系數相等”性質求某多項式中的待定系數的值或根據同類型的定義求某單項式中指數的取值，都需要用方程思想解答

例3 若-4xm-2y3與x3y7-2n是同類項，則m2+2=

分析：先根據同類項的定義求出m、n的值，再代入求值式計算

解答：由同類項的定義得m-2=3，7-2n=3，解得：m=5，n=2.

因此，m2+2n=52+22=29.

評注：根據同類項的定義，構造出關于m、n的方程進而求出m、n的值是解題的關鍵

四、分類討論思想

當被研究的問題包含多種情形，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情形來分別討論，得出各種情形下相應的結論，這種處理問題的思維方法稱之為分類思想 在單項式、多項式、整式及同類項的學習中，我們多次地運用了分類思想 運用它可以克服思維的片面性，有效地考查學生思維的全面性與嚴謹性

例4 若多項式3xn+1-xn+2xm-1是六次二項式，試求出2n2-3m+1的值

分析：欲求代數式2n2-3m+1的值，得先根據條件求出n的值而從表面上看所給的多項式3xn+1-xn+2xm-1有三項，這表明某兩項是相同的，顯然3xn+1與-xn不可能是一項至此，解題思路已明了

解答：由多項式3xn+1-xn+2xm-1是六次二項式，有兩種情況：

（1）若3xn+1與2xm-1都是六次，

則n+1=6，m-1=6，解得n=5，m=7

此時2n2-3m+1=2×52-3×7+1=30；

（2）若3xn+1的次數是6，-xn與2xm-1的次數相同，

則n+1=6，且n=m-1，解得n=5，m=6.

此時2n2-3m+1=2×52-3×6+1=50-18+1=33

評注：（1）抓住多項式有關要領的實質是解題的關鍵；（2）不難看出，此題在用分類思想解答的同時，還用到方程思想

五、轉化思想

就解題的本質而言，解題就意味著轉化，即把生疏的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題，把一般問題轉化為特殊問題

例5 當a的取值使得代數式3-（a+2）2的值最大時，代數式a2-2a2+3的值為

分析：先根據條件“a的取值使得代數式3-（a+2）2的值最大”求出字母a的值，再代入代數式a3-2a2+3求值這就是說，求a3-2a2+3的值關鍵是求字母a的值

解答：要使代數式3-（a+2）2的值最大，

就必須是減數（a+2）2最小.

因為（a+2）20，僅當a=-2時，（a+2）2最小（值為0）

所以，當a=-2時，3-（a+2）2取得最大值是3

從而，a3-2a2+3=（-2）3-2×（-2）2+3=-13

評注：（1）此題的解答，很好地體現了由已知向未知的轉化；（2）求一個代數式的最大（?。┲当疽殉鐾瑢W們所學知識范疇，但這里利用減數、被減數的關系以及非負數的性質討論求得，相信同學們一定能夠理解掌握

同學們在今后的學習中，要注意數學思想和方法的學習，切忌死記硬背，生搬硬套，只有真正領會并掌握數學解題的思想和方法，才能成為解題的能手

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