定積分的應用研究

摘 要：定積分是微積分中的重要內(nèi)容，它是解決許多實際問題的重要工具，主要研究定積分在幾何和經(jīng)濟方面的應用。

關(guān)鍵詞：定積分；微積分；簡單應用

中圖分類號：013文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）11-0262-01

定積分是微積分中的重要內(nèi)容，它是解決許多實際問題的重要工具，本文主要研究定積分在幾何和經(jīng)濟方面的簡單應用。

1 求平面圖形的面積

由定積分的幾何意義可知，由曲線y≥f(x)(f(x)≥0)及直線x=a，x=b(a＜b)與x軸所圍成的平面圖形的面積（如圖1）為s=ab(x)dx．這里f(x)dx表示以f(x)為高，dx為底的小矩形的面積，它表示dx上曲邊梯形的面積的近似值，稱dS=f(s)dx為面積元素。在計算曲邊梯形的面積時，只要找出它的面積元素dS，并用定積分表示出來即可。這種方法稱為微元分析法。

圖1

用微元分析法可以求一些平面圖形的面積。常見的類型有兩種：

圖x型圖y型

（1）（x-型）：由曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))，直線x=a，x=b(a＜b)所圍成的平面圖形。其面積元素dS=［f(x)-g(x)］dx，面積S為Sab［f(x)-g(x)］dx

（2） (y-型)：由曲線xφ(y)，x=ψ(y) (φ(y)≥ψ(y))，直線y=c，y=d(c＜d)所圍成的平面圖形。 其面積元素dS=［φ(y)-ψ(y)］dy，面積S為S=cd［φ(y)-ψ(y)］dy

例1 計算由兩條曲線 和 所圍成的平面圖形的面積。

解 求兩曲線的交點，即解方程組

3 定積分在經(jīng)濟中的應用

在經(jīng)濟管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)，一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。

例4 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為

參考文獻

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［2］王杏云.一元微積分在經(jīng)濟學中的意義和應用［Ｊ］. 西藏大學學報，2006，（9）.

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