引力發(fā)散悖論研究

摘 要：無限宇宙遇到了一系列的困難，引力發(fā)散悖論就是其一。于是，科學(xué)家提出了一些有限宇宙模型，其中比較有代表性的是大爆炸模型，又叫做標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型。標(biāo)準(zhǔn)模型能很好的符合實驗觀測結(jié)果，但也存在著一些根本性困難。而無限子宇宙模型將無限宇宙與標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型有機和諧地結(jié)合在一起，指出宇宙是由無限個有限子宇宙構(gòu)成。它克服了無限宇宙和有限宇宙所各自面對的困難，因而是一種較為可信的宇宙模型。

關(guān)鍵詞：引力發(fā)散悖論；標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型；膨脹動力學(xué)方程；無限子宇宙模型

中圖分類號：O3文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3198（2008）10-0373-03

1 引力發(fā)散悖論

從經(jīng)典的無限宇宙出發(fā)，1894年，德國天文學(xué)家西利格提出了所謂的引力發(fā)散悖論。經(jīng)典宇宙觀念認(rèn)為宇宙空間是無限的歐幾里德空間，無限多的宇宙物質(zhì)大體上以均勻的密度分布于宇宙中，即宇宙中物質(zhì)的密度處處不等于零。萬有引力定律是普適的。

下圖畫出了來自某小錐體中物質(zhì)的引力(對質(zhì)元O)。把錐體分成無數(shù)個厚度為dr的薄殼，考慮距O為r的殼，牛頓萬有引力定律講，引力與距離平方成反比，而與殼內(nèi)質(zhì)量成正比。即



F∝1r2，F(xiàn)∝m

而殼內(nèi)的質(zhì)量又正比于r2。即

m∝r2

因此遠(yuǎn)近不同的殼對質(zhì)元O產(chǎn)生同樣大的引力。那么，這小錐體中物質(zhì)對O的總引力是無窮大。當(dāng)然，對頂方向上的物質(zhì)將在相反方向上也產(chǎn)生一個無窮大的引力。那么，兩個無窮大之差是多大?這在數(shù)學(xué)上是沒有明確答案的。但在天文觀測中，并沒有發(fā)現(xiàn)這種情況。經(jīng)典宇宙學(xué)理論和觀測事實之間的這個矛盾，就是引力發(fā)散悖論，或稱西利格佯謬。

引力發(fā)散悖論的提出，直接對宇宙的無限模型發(fā)出了詰難。為了解決這一困難，人們曾提出多種有限宇宙模型，其中占主導(dǎo)地位的是大爆炸模型，又稱標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型。

2 標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型

2.1 膨脹的動力學(xué)

雖然我們在宇宙中的位置沒有特殊性，但為研究方便，依然把坐標(biāo)原點取在我們所在的銀河系。其他質(zhì)元(星系)的位置由廣義的球坐標(biāo)r，θ和φ標(biāo)記。這里用的是隨體坐標(biāo)，意即在宇宙運動(膨脹或收縮)中，每一質(zhì)元的坐標(biāo)r是不變的。它與我們的距離的變化將由尺度因子R(t)來描述。這樣，純用數(shù)學(xué)可證明，四維距離的平方總能寫成

ds2=-c2dt2+R（t）2dr21-kr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2（1）

這種描寫均勻各向同性時空的度規(guī)叫Robertson-Walker度規(guī)。當(dāng)僅考慮到均勻和各向同性，式中的尺度因子R(t)可以是任意函數(shù)。宇宙的具體運動情況應(yīng)由動力學(xué)方程決定。此外，式中還含有一個任意常數(shù)k，其大小只能由實際測量來確定。k=1時，宇宙空間的曲率為正，宇宙是有限封閉的。k=0時，曲率為零，為平坦空間。k=-1時為負(fù)曲率空間。后二者均為無限開放宇宙，這三種是理論上的一切可能。實際的宇宙只能是這三種可能類型中的一種。

宇宙介質(zhì)作為引力源，它被看成均勻的理想“氣體”。其物理性質(zhì)用密度ρ和壓強P來描述。在宇宙膨脹或收縮的過程中，隨尺度因子R的變化，密度和壓強也將在變化。也就是說，ρ和P也都是時間t的函數(shù)。考慮到所有有關(guān)的物理量都只與時間有關(guān)，而與空間點無關(guān)。所以所得到的必定是一組簡單的常微分方程。

把宇宙的Robertson-Walker度規(guī)代入愛因斯坦方程

Rμγ-12Rgμγ=-8πGc4Tμγ（2）

中，在適當(dāng)整理后，得出兩個常微分方程如下:

2+k=8πG3ρR2（3）

=-4πG3（ρ+3P）R（4）

這里，我們采用c=k=h=1的自然單位制。

把(3)式兩邊對時間求微商，曲率因子k將不在出現(xiàn)。然后與(5)式聯(lián)立消去R，即可導(dǎo)出

d（ρR3）=-Pd（R3）（5）

由上式可知，宇宙膨脹(或收縮)時，坐標(biāo)r固定的求內(nèi)的質(zhì)量(即能量)的貢獻(xiàn)。因熱運動速度遠(yuǎn)小于光速，所以對實物有P<<ρ。人們常把這性質(zhì)寫成P=0，叫實物的物態(tài)方程。這樣易于從(5)式解出

ρmR3=常量（6）

我們對物理量加下標(biāo)0代表今天的值。利用

ρR3=ρ0R03（7）

(3)式可重寫作

R02+KR02=8πG3#8226;ρ0R0R（8）

用于今天，可得到一個代數(shù)關(guān)系

H20＋kR02=8πg(shù)3ρ0（9）

其中H0是哈勃常數(shù)。用k和H20作為輸入?yún)⒘俊．?dāng)k=0時，由(8)式可得

R(t)R0=3H0t22/3（10）

這是一個很簡單的關(guān)系:時間增大三個量級，則尺度因子增大兩個量級。

宇宙膨脹的加速度常用一個無量綱量

q=-R/2（11）

來描寫。q被稱為減速因子。

哈勃常數(shù)H0和減速因子q0均為可觀察的量。當(dāng)H(t)>0時，宇宙是膨脹的。H(t)<0時，宇宙是收縮的。通過對遙遠(yuǎn)星體的紅移觀察，哈勃常數(shù)最佳估計近似值為55±7公里/秒。所以，宇宙是膨脹的。

2.2 有限的宇宙

利用哈勃常數(shù)H0是可觀測的量，定義一個密度量綱的量

ρc=3H028πG（12）

它也是能用觀測確定的量。把H0寫作

H0=100h#8226;km#8226;s-1#8226;Mpc-1（13）

H0的不確定性表現(xiàn)為

H=0.5～0.8（14）

它實際上是以100km#8226;s-1#8226;Mpc-1為單位的無量綱哈勃常數(shù)。這樣，ρc的大小為

ρc=1.9h2#8226;10-29g/cm3（15）

引入了ρc，由（9）式可以得到

3k8πGR02=ρ0-ρc（16）

從上述關(guān)系式可以看出，若今天的宇宙密度ρ0比ρc大，則表明曲率因子k是正值，即宇宙封閉有限，反之若ρ0等于ρc或比ρc小，則表明k是零或負(fù)數(shù)，即宇宙開放無限。ρc是這判據(jù)中的臨界量。因而它被稱為臨界密度。

2.3 熱大爆炸模型

如果宇宙在長時間內(nèi)一直膨脹著，那么物質(zhì)密度就一直在逐漸變稀。往前追溯至尺度為今天的百分之一時，宇宙密度將達(dá)到今天的106倍，超過了星系的密度(約為今天宇宙密度的105倍)，于是星系將擠在一起。實際上，它們不能存在。由此可見，宇宙的結(jié)構(gòu)在某一時間之前是不存在的，它只能是演化的產(chǎn)物。

在沒有結(jié)團(tuán)之前，宇宙一大片由微觀粒子構(gòu)成的均勻氣體。在熱平衡下有均勻的溫度，稱為宇宙溫度。氣體的絕熱膨脹將使宇宙溫度降底。反之，往前追溯，越早的宇宙就有越高的溫度。這樣，甚早期的宇宙就應(yīng)當(dāng)是溫度很高，密度很大的氣體，它以很大的速率膨脹著。可以設(shè)想宇宙誕生的時候，物質(zhì)密度為無限大，這時，空間是高度彎曲的，能量集中為引力能。隨著宇宙的膨脹，引力能逐漸轉(zhuǎn)化為粒子能，從而產(chǎn)生各種各樣的粒子。這個大爆炸模型由于只用了已知的物理學(xué)規(guī)律，非常簡單地描述了宇宙的性質(zhì)、運動和演化，并得到了觀測事實的支持，現(xiàn)在已為大多數(shù)學(xué)者所認(rèn)可，稱之為宇宙學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型。在這個模型中，空間是與物質(zhì)聯(lián)系在一起的，爆炸的含義是空間本身在膨脹，并不是說有一團(tuán)物質(zhì)在已經(jīng)存在的空間爆炸碎裂而散開。

3 有限宇宙的困難和引力發(fā)散悖論的進(jìn)一步討論

3.1 有限宇宙的困難

大爆炸模型是建立在有限宇宙基礎(chǔ)之上的，而有限宇宙則存在“蒸發(fā)”和最后開放式爆炸而死亡相矛盾。

愛因斯坦在批駁恒星宇宙是無限空間海洋中的一個有限島嶼時寫道：“它導(dǎo)致了下述結(jié)果：從恒星發(fā)出的光以及恒星中各個個別恒星不斷奔向無限的空間，一去不返，而且永遠(yuǎn)不再與其它自然客體相互發(fā)生作用，這樣一個有限的物質(zhì)宇宙將注定逐漸而系統(tǒng)地被削弱。”

然而，有人提出（如Gurk），宇宙本身就是最終的黑洞，這樣似乎一切物質(zhì)都不能逃逸出去了，宇宙可以是有限的。其實不然，因為黑洞也還是要向周圍“蒸發(fā)”物質(zhì)的，隨著黑洞不斷發(fā)射粒子，它的質(zhì)量和大小將逐漸減小，這終將使黑洞因輻射耗盡而不復(fù)存在。

這種蒸發(fā)過程也符合熱力學(xué)第二定律，如果宇宙是有限的，熱寂說將成為可能，由熱力學(xué)第二定律

ds≥dQdT(17)

在絕熱過程中，dQ=0。則上式ds≥0，即在絕熱過程中熵永遠(yuǎn)不會減少，對于可逆過程，系統(tǒng)的熵不變，對于不可逆過程，系統(tǒng)的熵增加。如果宇宙是有限的孤立系統(tǒng)，那么宇宙的發(fā)展過程就是一個絕熱過程，也就會出現(xiàn)克勞修斯所說的“宇宙的能量是不變的，宇宙的熵趨于極大值”即“熱死”來臨了。

在宇宙的年齡問題上，標(biāo)準(zhǔn)模型也不能夠很好地解決，當(dāng)英國物理學(xué)家米爾恩用標(biāo)準(zhǔn)模型計算宇宙的年齡是二十億年時，可是地球的年齡比它還大，當(dāng)人們又計算它的年齡為100億年時，可在遠(yuǎn)離我們200億光年的地方發(fā)現(xiàn)了類星體，加上類星體的年齡50億年，這樣宇宙的年齡至少為250億年，這顯示了標(biāo)準(zhǔn)模型的基本些不適當(dāng)因素。

有限宇宙的困難說明了它的無限，然而這又使問題回到了本文開始所述的有限無限之爭而出現(xiàn)的引力發(fā)散問題上來了。

3.2 引力發(fā)散的進(jìn)一步討論

在無限宇宙模型中，牛頓引力理論是需要作適當(dāng)修正的，物質(zhì)通過交換吸引子相互吸引，對于無限宇宙，每視線方向必然存在任意多恒星和不發(fā)光物質(zhì)，這樣引力場就要逐步被吸收，衰減是必然的對頻率為ω的引力子的吸率為

A(ω)=8πG5hω3∑(a，b)U2abNaNb

U5ab∫dσabdΩsin2θdθ(18)

由于吸收作用，有限物質(zhì)在無限遠(yuǎn)處的引力勢必然為零，如果宇宙的物質(zhì)是分布均勻的，各向同性的，有限物質(zhì)的引力勢范圍應(yīng)是一個有限的球。我們可以取修正的牛頓勢為:

=Aexp（-r/λ）r(19)

它隨距離的增加比牛頓引力理論更快地減小，這樣牛頓理論的困難就克服了，宇宙是無限的，然而對某一點的引力勢作貢獻(xiàn)的物質(zhì)是有限的。



4 宇宙的無限子宇宙模型

宇宙是無限的，大爆炸也屬可能，這二者似乎矛盾。其實它們同時存在是那么的和諧自然，大爆炸宇宙學(xué)所描述的有限宇宙不過是無限宇宙中無限個孩子-子宇宙-中的一個。這無限多個子宇宙也包括封閉與開放三種形式，以及反物質(zhì)子宇宙（也應(yīng)有上述三種形式）。子宇宙之間距離極大，使得子宇宙本身成為近孤立系統(tǒng)，大爆炸所需狀態(tài)條件得以滿足。這樣，宇宙的無限和大爆炸就自然和諧地統(tǒng)一起來了，在子宇宙之間稀疏存在從場、基本粒子到塵埃物質(zhì)，從恒星到星系等暫不屬于某一子宇宙的物質(zhì)形式。

各子宇宙之間仍存在一定的聯(lián)系，微弱的引力，相互射出的光子，及各種基本粒子，乃至于宇宙由膨脹到收縮過程中由于速度漲落而逃逸的單個星體，星系等。

這一模型既可以解釋大爆炸模型可以解釋的哈勃紅移，2。7k背景輻射，氦豐度，天體年齡等觀測事實，又可以解決有限宇宙模型不可避免的蒸發(fā)和開放式爆炸而死亡的困難。同時還解決了宇宙中正反物質(zhì)不對稱的困難。

和其它宇宙模型一樣，無限子宇宙模型只是一種近似，必然存在某種局限性，這是面對無限的宇宙，我們對它了解的實在是太少的原因。宇宙是無限的，為一定時間和空間所局限的人所認(rèn)識的宇宙是有限的，不斷探索觀察，擴(kuò)大視野，修正模型，才可能逐步趨近于被認(rèn)識的無限宇宙的真面貌。

參考文獻(xiàn)

［1］趙侃士.牛頓的宇宙和西利格佯謬［Ｊ］.湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2001.

［2］于秦生.宇宙因子A的成因［J］. 安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1995.