一種用于求解多目標(biāo)組合優(yōu)化的混合遺傳算法

收稿日期：2007-11-07；修回日期：2008-01-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70572098）

作者簡(jiǎn)介：楊開(kāi)兵（1967-），女，遼寧大連人，博士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)（kaibingy@126.com）；劉曉冰（1956-），男，吉林長(zhǎng)春人，教授，博導(dǎo)，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)、企業(yè)信息化*

（1.大連理工大學(xué) CIMS中心，遼寧 大連 116024；2.大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116034）

摘 要：為高效求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題，提出一種進(jìn)化計(jì)算與局部搜索結(jié)合的多目標(biāo)算法。此算法基于個(gè)體排序數(shù)和密度值進(jìn)行適應(yīng)度賦值，采用非劣解并行局部搜索策略，在解的適應(yīng)度賦值和局部搜索過(guò)程中使用Pareto支配的概念。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法不僅提高了優(yōu)化搜索的效率，且能夠找到更多的近似Pareto最優(yōu)解。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)組合優(yōu)化；混合遺傳算法；適應(yīng)度賦值；局部搜索

中圖分類號(hào)：TP301

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695(2008)10-2956-03

Hybrid genetic algorithm for multi-objective combinatorial optimization

YANG Kai-bing¹，2，LIU Xiao-bing¹

(1.CIMS Center， Dalian University of Technology， DalianLiaoning 116024 ，China; 2. College of Information Science Engineering ， Dalian Polytechnic University， Dalian Liaoning 116034，China)

Abstract:To efficiently solve multi-objective combinatorial optimization problems， combining evolutionary computation with local search， this paper proposed a hybrid genetic algorithm. It evaluatd the indivi-dual fitness based on the rank of the individual and its density value， used a Pareto parallel local search strategy. Used the concept of Pareto dominance to assign fitness to the solutions and in the local search procedure. The experimental results show that the proposed algorithm can improve search efficiency of optimization and find more approximate Pareto optimal solutions.

Key words：multi-objective combinatorial optimization; hybrid genetic algorithm; fitness assignment; local search

多目標(biāo)組合優(yōu)化是現(xiàn)實(shí)世界廣泛存在的NP難問(wèn)題。由于目標(biāo)間的沖突性以及計(jì)算的復(fù)雜性，使得多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題的求解尤為困難。隨著多目標(biāo)進(jìn)化算法的興起，并成功地應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，為求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題提供了一條有效的途徑。近年來(lái)，將進(jìn)化計(jì)算與局部搜索結(jié)合，用于求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題，受到了許多研究者的關(guān)注[1~5]。Ishibuchi和Murata[1]建立了基于隨機(jī)加權(quán)和的多目標(biāo)遺傳局部搜索算法（multi-objective genetic local search algorithm，MOGLS），其主要思想是每代隨機(jī)地產(chǎn)生一組權(quán)重，用于進(jìn)化過(guò)程中雙親的選擇和局部搜索過(guò)程中搜索方向的確定，局部搜索作用于當(dāng)前群體的每一個(gè)個(gè)體上。此算法應(yīng)用到流水車間調(diào)度問(wèn)題中，其結(jié)果顯示出好于Schaffer提出的基于向量評(píng)估的遺傳算法（VEGA）。Jaszkiewicz[3]也建立了一個(gè)多目標(biāo)遺傳局部搜索算法（J-MOGLS），主要做法是根據(jù)隨機(jī)權(quán)重確定的標(biāo)量化函數(shù)，從當(dāng)前群體中選擇一定數(shù)目的不同個(gè)體，構(gòu)成臨時(shí)群體，從中選擇兩個(gè)個(gè)體重組，得到的新個(gè)體進(jìn)行局部搜索。此算法在求解多目標(biāo)對(duì)稱旅行商問(wèn)題上取得了較好的效果。上述兩種算法的共同特征是解的適應(yīng)度評(píng)價(jià)都是基于多個(gè)目標(biāo)的加權(quán)標(biāo)量化函數(shù)，局部搜索都是對(duì)進(jìn)化產(chǎn)生的每一個(gè)個(gè)體實(shí)施的。

為更有效地產(chǎn)生Pareto前沿的近似，本文提出了一種不同的混合算法MOHGA（multi-objective hybrid genetic algorithm）。該算法將Elaoud等人[6]提出的Pareto適應(yīng)度遺傳算法PFGA（Pareto fitness genetic algorithm）與局部搜索相結(jié)合，在改善算法收斂性的同時(shí)，保持了群體的多樣性。通過(guò)對(duì)一組多目標(biāo)流水車間問(wèn)題的求解，與MOGLS[1]、J-MOGLS[3]、PFGA[6]算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MOHGA有更快的收斂速度和更好的優(yōu)化效果。

1 問(wèn)題描述

一般地，多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題可描述如下[7]：

minimize z=f(x)=(f1(x)=z1，…， fr(x)=zr)

subject to x∈Ω（1）

其中:f(x)為具有r個(gè)分量的目標(biāo)向量；x是離散的決策向量；Ω是可行解的集合；點(diǎn)z=f(x)是解x∈Ω在目標(biāo)空間中的像。

如果對(duì)任意的j∈{1，2，…，r}，有zj=fj(x)≤z′j=fj(x′)，并且至少存在一個(gè)j，有zj＜zj′，則稱點(diǎn)z=(z1，…，zr)支配點(diǎn)z′=(z1′，…，zr′)。如果解x的像支配解x′的像，則稱解x支配解x′。

如果不存在x∈Ω使得z=f(x)支配z*=f(x*)，則稱解x*∈Ω是Pareto最優(yōu)解（或非劣解）。Pareto最優(yōu)解組成的集合稱為Pareto最優(yōu)集。Pareto最優(yōu)集在目標(biāo)空間的像稱為Pareto前沿（或非劣前沿）。

2 多目標(biāo)混合遺傳算法（MOHGA）

本文提出的算法具有如下特征：

a)雙重精英策略。一是從外部群體中選擇一定數(shù)目的個(gè)體進(jìn)入進(jìn)化群體中；二是在進(jìn)化選擇中淘汰掉個(gè)別最差個(gè)體，提高算法收斂性。

b)采用基于Pareto支配關(guān)系的雙倍排序策略以及自適應(yīng)密度評(píng)估技術(shù)，賦予個(gè)體以適當(dāng)?shù)倪m應(yīng)度值，保持群體多樣性。

c)基于Pareto支配概念，進(jìn)行并行多目標(biāo)局部搜索，加強(qiáng)不同區(qū)域的搜索。

21 雙重精英策略

MOHGA使用兩個(gè)群體：進(jìn)化群體和外部群體。外部群體用來(lái)保存進(jìn)化過(guò)程中產(chǎn)生的所有非劣解。在每次迭代中，從外部群體NDt中選擇Nelite個(gè)精英解，組成精英解集Et，加入到當(dāng)前群體MPt中，形成聯(lián)合群體MPt∪Et。讓目前所發(fā)現(xiàn)的所有非劣解都有機(jī)會(huì)參與局部搜索。在進(jìn)化過(guò)程中，規(guī)模為Npop+Nelite的進(jìn)化群體選擇Npop個(gè)優(yōu)秀個(gè)體，淘汰掉Nelite個(gè)最差個(gè)體，使大部分較優(yōu)個(gè)體參與進(jìn)化。同時(shí)采用上述兩種方式的精英策略，以更好地提高算法的收斂性。

22 適應(yīng)度賦值

多目標(biāo)進(jìn)化算法中，適應(yīng)度賦值是關(guān)鍵技術(shù)之一，有基于Pareto支配概念和不基于Pareto支配概念兩大類技術(shù)。MOGLS和J-MOGLS是不基于Pareto支配概念的目標(biāo)加權(quán)和法。 基于Pareto支配概念的適應(yīng)度賦值將多目標(biāo)解按Pareto支配關(guān)系進(jìn)行排序，可消除目標(biāo)尺度的無(wú)公度性帶來(lái)的影響。PFGA[6]基于Pareto支配關(guān)系，采取雙倍排序策略和自適應(yīng)密度評(píng)估方法，對(duì)群體中的個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度賦值。它不僅考慮了個(gè)體間的Pareto最優(yōu)性，還考慮了其在整個(gè)搜索空間的分布，能夠更好地防止遺傳漂移（群體收斂到一個(gè)最優(yōu)解上），保持群體多樣性。本文基于PFGA，提出了個(gè)體適應(yīng)度賦值的方法，先根據(jù)Pareto支配關(guān)系計(jì)算每一個(gè)體的排序數(shù)，再根據(jù)個(gè)體周圍的擁擠狀況計(jì)算個(gè)體的密度值；最后綜合確定個(gè)體的適應(yīng)度值。具體方法如下：

a)計(jì)算當(dāng)前群體P中每個(gè)個(gè)體i的偽排序數(shù)：

R′(i)=|{j/j∈P，j  i}|，i∈P

其中：符號(hào)“”表示Pareto支配關(guān)系，即R′(i)表示當(dāng)前群體P中支配個(gè)體i的個(gè)體數(shù)。

b)計(jì)算個(gè)體i的排序數(shù)：

R(i)=R′(i)+∑j∈P，ijR′(j)，i∈P

即個(gè)體i的排序數(shù)R(i)等于個(gè)體i的偽排序數(shù)與支配個(gè)體i的所有個(gè)體的偽排序數(shù)之和。

c)將目標(biāo)空間根據(jù)群體規(guī)模Npop劃分成nc×nc×…×nc個(gè)網(wǎng)格區(qū)域，nc表示每維目標(biāo)空間的網(wǎng)格數(shù)，第i維目標(biāo)空間的網(wǎng)格寬度為

Wdi=[max fi(x)-min fi(x)]/nc；j=1，2，…，k

其中:k表示目標(biāo)數(shù);max fi(x)和min fi(x)分別是第i維目標(biāo)空間的上邊界和下邊界。

nc的確定：設(shè)kNpop的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為r，則當(dāng)r=0時(shí)，nc=a，r≠0時(shí)，nc=a+1。每一個(gè)體都位于一個(gè)網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)，將每個(gè)個(gè)體所在的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的個(gè)體數(shù)作為該個(gè)體的密度值。

d)個(gè)體的適應(yīng)度為

fitness(i)=1/[exp(R(i))×D(i)]

其中:R(i)表示個(gè)體i的排序數(shù);D(i)表示個(gè)體i的密度值。

個(gè)體的適應(yīng)度既與它的排序數(shù)有關(guān)，又與它周圍擁擠狀況有關(guān)。當(dāng)個(gè)體的排序數(shù)相同時(shí)，其適應(yīng)度將只依賴于它的密度值，位于稀疏區(qū)域的個(gè)體將有較大的適應(yīng)度。當(dāng)一個(gè)非劣解不與其他任何個(gè)體同處于一個(gè)網(wǎng)格區(qū)域時(shí)，其適應(yīng)度最大。這種適應(yīng)度賦值方式，既保證了群體朝著Pareto前沿逼近，又能在一定程度上保持群體多樣性。

為進(jìn)一步提高群體多樣性，本文在上述適應(yīng)度賦值的基礎(chǔ)上采取將群體中的極端個(gè)體賦予最大的適應(yīng)度，以增加被選擇的機(jī)會(huì)，避免Pareto前沿過(guò)于狹窄，使產(chǎn)生的非劣前沿分布范圍更廣。

23 多目標(biāo)局部搜索

MOGLS和J-MOGLS對(duì)進(jìn)化產(chǎn)生的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行局部搜索，但是當(dāng)個(gè)體質(zhì)量較差時(shí)，搜索效率并不高。此外，MOGLS和J-MOGLS對(duì)個(gè)體進(jìn)行局部搜索時(shí)，是基于各目標(biāo)加權(quán)和的標(biāo)量化函數(shù)來(lái)判斷個(gè)體的優(yōu)劣，而且，只在新個(gè)體和目標(biāo)個(gè)體這兩個(gè)個(gè)體間比較后就決定是否接受新個(gè)體。這種方式有時(shí)會(huì)丟棄一些支配其他個(gè)體的非劣解。

為避免上述問(wèn)題，本文采取基于Pareto支配關(guān)系的并行搜索策略，只對(duì)非劣解進(jìn)行局部搜索?；舅枷胧牵簩?duì)當(dāng)前群體的非劣解集S中的每一個(gè)解x產(chǎn)生一個(gè)鄰域N(x)，對(duì)該鄰域內(nèi)的解y，只要y不比S中的解差，即y不受S中的解支配，則接受y作為新解。將搜索過(guò)程中產(chǎn)生的所有新解組成集合S′。用S′修正S，即將S′的解添加到S中，同時(shí)刪除S中被支配的解，這樣會(huì)得到改善的非劣解集S；再將S作為初始集合，重復(fù)上述搜索過(guò)程。這種從S出發(fā)，并行地搜索解空間的幾個(gè)區(qū)域，能夠加強(qiáng)不同區(qū)域的搜索，提高搜索效率。具體步驟如下：

a)初始化局部搜索的非劣解集合S，并將S加入到NDI中，令迭代次數(shù)t=1。

b)置S′為空集。對(duì)S中每一個(gè)解xk產(chǎn)生xk的鄰域N(xk)，對(duì)y∈N(xk)判斷y是否處于受集合NDI支配的區(qū)域。若y不被NDI中的任何解支配，且yNDI，則將y加入到S′中。

c)用S′修正NDI，即將S′的解添加到NDI中，剔除其中受支配的解。

d)如果t小于最大迭代數(shù)，則置S=NDI，t=t+1，返回步驟b)。

24 MOHGA的實(shí)現(xiàn)步驟

a)算法參數(shù)設(shè)定：群體規(guī)模Npop，交叉概率Pc，變異概率Pm，最大精英數(shù)Nelite，局部搜索的最大迭代數(shù)Niter。

b)初始化：隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為Npop的初始群體，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)值。初始化外部群體NDI=，初始化精英解集E1=。

c)求非劣解：求出當(dāng)前群體Pt中的所有非劣解。

d)修正外部群體NDt：將非劣解加入到NDt中，再?gòu)腘Dt中刪去被支配的個(gè)體。

e)適應(yīng)度賦值：按2.2節(jié)的方法計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度。

f)選擇、交叉和變異：將Pt中的個(gè)體按適應(yīng)度由大到小排序，選擇前Npop個(gè)個(gè)體進(jìn)入交配池，從交配池中選擇兩個(gè)不同的個(gè)體，依概率Pc進(jìn)行交叉，得到的子代依概率Pm進(jìn)行變異，共產(chǎn)生Npop個(gè)個(gè)體，形成中間群體MPt。

g)精英策略：隨機(jī)從集合NDt中選出Nelite個(gè)個(gè)體，存放于集合Et中。

h)局部搜索：應(yīng)用2.3節(jié)的方法對(duì)MPt∪Et的非劣解集S進(jìn)行局部搜索，得到改善的非劣解集NDI。用NDI修正MPt∪Et，得到下一代群體Pt+1。

用NDI修正MPt∪Et，方法如下：

(a)|NDI|=|S|，則用NDI替代S。

(b)|NDI|＞|S|，從MPt∪Et中刪去S和隨機(jī)選擇的|NDI|-|S|個(gè)解，再加進(jìn)NDI。

(c)|NDI|＜|S|，隨機(jī)從S中選擇|S|-|NDI|個(gè)解，連同NDI一起加入到MPt∪Et中，再?gòu)腗Pt∪Et中刪去S。其中：|NDI|為集合NDI中的元素個(gè)數(shù);|S|為集合S中的元素個(gè)數(shù)。

i)停止準(zhǔn)則：若停止條件滿足，則輸出外部群體；否則Pt=Pt+1，返回步驟c)。

MOHGA的基本流程如圖1所示。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

31 測(cè)試問(wèn)題

Flow shop問(wèn)題是一種典型的組合優(yōu)化問(wèn)題，置換flow shop調(diào)度可以描述為n個(gè)工件按照同一加工順序在m臺(tái)機(jī)器上依次進(jìn)行處理，要求確定使預(yù)定目標(biāo)函數(shù)最小的工件加工順序。這意味著問(wèn)題的解為工件的一個(gè)全排列，其搜索空間的規(guī)模是n!。本文按照文獻(xiàn)[2]的方法，產(chǎn)生六個(gè)規(guī)模不同的調(diào)度實(shí)例，包括機(jī)器數(shù)m為10和20，工件數(shù)n為20、40、60和80，每一問(wèn)題表示成n×m。優(yōu)化目標(biāo)是使最大完成時(shí)間f1（make span）和最大拖后時(shí)間f2（maximum tardiness）達(dá)到最小。

32 性能指標(biāo)

多目標(biāo)優(yōu)化的目的有兩個(gè)：一是收斂到Pareto前沿;二是維持Pareto最優(yōu)集內(nèi)解的多樣性。本文采用Knowles 和Corne[8]提出的基于與參考集（Pareto最優(yōu)集或近似Pareto最優(yōu)集）的距離指標(biāo)D1R來(lái)評(píng)價(jià)解的質(zhì)量。D1R可同時(shí)考察解集的收斂性和多樣性。設(shè)S*是參考解集，Sj是評(píng)價(jià)的解集，則D1R定義如下：D1R(Sj)=1/|S*|∑y∈S*min{dxy|x∈Sj}（2）其中：dxy是解x和參考解y在N維標(biāo)準(zhǔn)化目標(biāo)空間的距離。dxy=∑Ni=1(f*i(y)-f*i(x))²（3）其中：f*i(·)是使用參考集進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的第i個(gè)目標(biāo)值。D1R(Sj)越小，解集Sj越好。

此外，本文還采用Fieldsend等人[9]提出的指標(biāo)來(lái)比較兩個(gè)集合的收斂速度。設(shè)A、B是兩個(gè)待比較的集合，C的定義為C(A，B)=|{b∈B;a∈A，ab}|/|B|（4）其中：C∈[0，1]，表示B的非劣解被A的非劣解支配的個(gè)數(shù)占B的非劣解總數(shù)的比率。當(dāng)B中任何點(diǎn)都被A中某些點(diǎn)支配時(shí)，C(A，B)=1；當(dāng)B中所有點(diǎn)都不被A中任何點(diǎn)支配時(shí)，C(A，B)=0。一般C(A，B)≠C(B，A)。

33 計(jì)算結(jié)果和比較

采用MOGLS[1]、J-MOGLS[3]以及PFGA[6]作為參考算法，檢驗(yàn)本文MOHGA的優(yōu)化性能。采用基于工件加工順序的自然數(shù)編碼，統(tǒng)一設(shè)定參數(shù)：群體規(guī)模Npop=30，交叉概率Pc=0.9，變異概率Pm=0.3，精英解的數(shù)目Nelite=3。對(duì)于J-MOGLS，群體的最大規(guī)模為Nmax=100，臨時(shí)集合規(guī)模為6；對(duì)于MOHGA，局部搜索的最大迭代數(shù)Niter=3。所有算法使用相同的遺傳操作和鄰域結(jié)構(gòu)：兩點(diǎn)交叉，插入變異，對(duì)換鄰域且搜索步長(zhǎng)為2。計(jì)算終止條件均設(shè)定為評(píng)價(jià)100 000個(gè)解。每種算法在相同的初始條件下獨(dú)立運(yùn)行20次，合并各次非劣解集并剔除其中的劣解后，獲得各問(wèn)題的最終非劣解集作為參考集（非劣解前沿）。表1給出了評(píng)價(jià)指標(biāo)D1R的計(jì)算結(jié)果。從中可以看出，MOHGA的指標(biāo)D1R均優(yōu)于其他三種算法，說(shuō)明MOHGA能有效地產(chǎn)生更接近非劣解前沿的近似集。

表1 指標(biāo)D1R的比較問(wèn)題MOHGAMOGLSJ-MOGLSPFGA20×100.013 10.040 40.025 90.116 940×100.005 00.139 00.138 70.388 440×200.019 70.065 40.115 10.297 760×100.000 00.357 30.377 80.532 560×200.007 00.146 20.171 81.543 580×200.019 50.216 50.134 21.087 7

表2給出了每種算法產(chǎn)生的非劣解數(shù)量。表3是C指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表2和3可知，MOHGA均獲得了多于其他三種驗(yàn)證算法獲得的非劣解數(shù)量，且具有更快的收斂速度。

圖2（a）（b）是以問(wèn)題40×20和60×10為例，描述了不同算法得到的非劣解集的比較。從圖中可以看出，在相同的算法終止條件下，本文MOHGA得到較多且較廣泛的非劣解前沿的近似。

表2 非劣解數(shù)目的比較問(wèn)題MOHGAMOGLSJ-MOGLSPFGA20×102419281940×103416112240×203215251560×1012137360×202615111980×2031142017表3 C指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果問(wèn)題C(A，B)C(A，C)C(A，D)C(B，A)C(C，A)C(D，A)20×100.263 20.678 610.250.166 7040×100.562 50.818 210.205 90.058 9040×200.866 7110.03130060×1011100060×200.933 30.818 2100.115 4080×2010.75100.322 60

注：C指標(biāo)評(píng)價(jià)中，A表示MOHGA所得的非劣解集；B表示MOGLS所得的非劣解集；C表示J-MOGLS所得的非劣解集；D表示PFGA所得的非劣解集。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的多目標(biāo)混合遺傳算法MOHGA。MOHGA采用雙倍排序策略以及自適應(yīng)密度評(píng)估進(jìn)行適應(yīng)度賦值，以保持群體多樣性，基于Pareto支配關(guān)系對(duì)非劣解進(jìn)行并行局部搜索，以提高搜索效率。在進(jìn)化選擇中通過(guò)淘汰掉個(gè)別最差個(gè)體以及引入外部群體中的精英個(gè)體，進(jìn)一步加快解的收斂速度。實(shí)驗(yàn)證明，MOHGA在求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題時(shí)能有效地產(chǎn)生數(shù)量較多、分布較廣的非劣解的近似集。

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