一類切換時滯奇異系統的狀態反饋Ｈ∞控制
2008-12-31 00:00:00付主木吳慶濤費樹岷
計算機應用研究 2008年7期
摘 要：研究一類由任意有限多個時滯奇異子系統組成的切換系統的狀態反饋H∞控制問題。利用Lyapunov函數方法和凸組合技術，給出由矩陣不等式表示的控制器存在的充分條件，并設計了相應的子控制器和切換規則。采用變量替代方法，將該矩陣不等式轉換為一組線性矩陣不等式(LMIs)，最后給出一個求解狀態反饋控制器增益矩陣的仿真算例。研究結果表明，通過切換，閉環系統在整個狀態空間上的每個點都滿足H∞性能，并不要求每個子系統在整個狀態空間上都滿足H∞性能，甚至也不要求其漸進穩定。
關鍵詞：切換系統;奇異系統;H∞控制;狀態反饋;狀態時滯;線性矩陣不等式
中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A
文章編號：1001-3695(2008)07-2013-03
State feedback H∞ control for class of switched singular systems with state delay
FU Zhumu1，WU Qingtao1，FEI Shumin2
(1.School of Electronic Information Engineering， Henan University of Science Technology， Luoyang Henan 471003， China；2.School of Automation， Southeast University， Nanjing 210096， China)
Abstract:It is investigated that state feedback H∞ control problem for a class of switched singular systems with state delay.Based on Lyapunov function approaches and convex combinations techniques， a sufficient condition for the existence of subcontrollers was presented， which was in the form of matrix inequalities. Both subcontrollers and switching strategy were designed. Then， using variable substitution method， the matrix inequalities were changed into linear matrix inequalities (LMIs). Finally， a simulation example was given to solve the gain matrices of state feedback controllers. The results indicate that closed loop system satisfies H∞ performance at each point in whole statespace through switching， although each subsystem doesn’t satisfy the performance and even is not asymptotically stable.
Key words:switched systems; singular systems; H∞ control; state feedback; state delay; LMIs
在許多實際系統中，如長管道進料或皮帶傳輸、極緩慢的過程或復雜的在線分析儀等，由于測量靈敏度不夠、信息傳輸延時和元件的老化等原因，系統中存在不確定因素和時滯現象是極其普遍的。此外，對許多大時間常數的系統，也常用適當的小時間常數加純滯后環節來近似，這都可以歸結為時滯系統模型。一般地，一個系統中原料或信息的傳輸也往往導致時滯現象的產生。因此，通信系統、傳送系統、化工過程系統、冶金過程系統、環境系統、電力系統等都是典型的時滯系統。
時滯的存在使得系統的分析和綜合變得更加復雜和困難，同時時滯的存在也往往是造成系統不穩定和性能變差的主要原因。正是由于時滯在實際系統中大量存在，以及時滯系統分析和控制的困難性，使得時滯系統的分析和綜合一直是控制理論與控制工程領域中研究的一個熱點問題。
近年來，針對線性時滯系統的研究已經取得了較多成果[1~5]，然而針對切換時滯系統的研究尚不多見。文獻[6，7]分別研究了連續型和離散型切換時滯線性系統的可控性問題；文獻[8]研究了切換時滯線性系統鎮定問題；利用凸組合方法，文獻[9]研究了線性不確定時滯系統混雜反饋H∞魯棒鎮定；文獻[10]主要研究一類不確定切換組合系統H∞意義下魯棒穩定性問題；文獻[11]給出了時滯依賴的不確定切換系統的帶記憶的H∞魯棒控制的一種方法，但是所給出的矩陣不等式條件不是線性矩陣不等式，必須用迭代法或施加較強的約束才可求解；另外，文獻[12~14]也只是對切換時滯線性系統的穩定性和鎮定問題進行了研究。
1 問題描述
考慮如下切換時滯奇異系統
E（t）=Aσ(t)x(t)+Adσ(t)x(t-d)+B1σ(t)ω(t)+B2σ(t)u(t)
z(t)=Cσ(t)x(t)+Dσ(t)u(t)
x(t)=φ(t)，t∈[-d，0]（1）
其中：x∈Rn表示系統狀態；ω∈Rp表示外部干擾且ω∈L2[0，T]；z∈Rq表示受控輸出； d是已知常數的滯后時間，且滿足d≥0；σ(#8226;):[0，+∞]→{1，2，…，N}def=表示分段常值切換信號，而且σ(t)=i表示第i個子系統在時刻t時被激活；E∈Rn×n且rank E=r＜n，Ai、B1i、B2i、Ci、Di和Adi(i∈N)是具有相應維數的已知常數矩陣；φ(t)為一連續函數用于確定系統的初始狀態。
定義1 如果σ(t-k)≠σ(t+k)且σ(t)=σ(t+k)=ik，t∈[tk，tk+1)，ik∈N，則稱序列{(tk，ik)}，ik∈N，k∈{0，1，…}是由切換信號σ(t)生成的切換序列。時間區間[tk，tk+1]被稱為第ik個子系統的駐留時間。
定義2 考慮系統式（1）的自由系統（unforce system）如下：
E=Aix(2)
a）對每個i∈N，存在s∈C，使得det(sE-Ai)0，則稱切換奇異系統式（2）是正則的；
b）如果式（2）是正則的，對所有s∈C，均滿足deg(det(sE-Ai))=rankE，i∈N，deg(p(s))表示多項式p(s)的次數，則稱切換奇異系統式（2）是無脈沖的。
本文所討論的切換奇異系統均是正則和無脈沖的。
結合狀態反饋控制器u=Kσ(t)x(t)、切換時滯奇異系統式（1）和切換規則σ(t)，則相應的閉環系統可寫為
本文的控制目標是：對于任意給定的常數γ＞0，設計切換時滯奇異系統（1）中每個子系統的狀態反饋控制器和對應的切換規則σ(t)，使得相應的閉環系統式(3)滿足如下性能：a）當外部擾動輸入ω≡0時，閉環系統在零點是漸近穩定的；b）在系統的初始狀態x(t)=0，t∈[-d，0]之下，下面不等式對于所有非零的ω∈L2[0，T]，0≤T＜∞，∫T0zT zdt＜γ2∫T0ωTωdt成立。
2 主要結果
為完成設計任務，需要分析和設計控制器u(t)及切換規則σ(t)。首先介紹一個引理，其證明可在文獻[15]中找到。
引理1[15] 對于適當維數的矩陣X，Y，有X TY+Y TX≤αX TX+Y TY/α，α＞0。
對如式(1)所描述的切換奇異時滯系統的狀態反饋H∞控制，有如下結果：
定理1 對于任意給定的常數γ＞0，如果存在非奇異矩陣P∈R n×n，對稱正定矩陣S∈R n×n，N個滿足αi≥0(i∈N)且Ni=1αi=1的實數αi和矩陣Ki，使得下列矩陣不等式成立：
ETP=PTE≥0（4）
Ni=1αiATciP+PTAci+Sγ-1PTB1iCTciPTAdi
γ-1BT1iP-I00
Cci0-I0
ATdiP00-S＜0(5)
則存在子控制器和切換規則使系統（1）滿足H∞性能a）b）。如果上述不等式的解存在，則相應的子控制器為Ki，切換規則可選取為
假設{(tk，ik)|ik∈N;k=0，1，…;0=t0≤t0≤t1≤…}是由切換規則式（6）在時間區間[0，∞)上生成的切換序列。定義Lyapunov函數
其中：xt=x(t+θ)，θ∈[-d，0]，則V(xt)是正定的。在切換序列作用下，注意到式（4），則Lyapunov函數沿切換系統式（3）軌跡的時間導數為
由式（7）可知，V#8226;＜0對于所有的t≥0都成立。從而當外部擾動輸入ω≡0時，系統式（1）在切換規則式（6）的作用之下在零點是漸近穩定的。
b)假設初始狀態x(t)=0，t∈[-d，0]根據引理1，式（9）可變換為
對任意給定的T＞0，引入如下形式的性能指標：
假設{(tk，ik)|ik∈N;k=0，1，…，s;0=t0≤t1≤…≤ts=T}是式（6）在區間[0，T]上生成的切換序列。在該切換序列作用下，仍取形式為式（8）的Lyapunov函數，注意到x(t)=0，t∈[-d，0]，將式
定理1中的條件表明，通過切換，整個狀態空間上的每個點都有適當的子系統和子控制器使閉環系統滿足H∞性能，而并不要求每個子系統在整個狀態空間上都滿足H∞性能，甚至也不要求每個子系統穩定；克服了切換系統的每一個子系統的從控制輸入到受控輸出的增益矩陣都是列滿秩的限制，即去掉了在研究H∞控制問題中的常用假設：DTi[Ci Di]=[0 I]；所獲條件只是充分條件，而非必要的。
顯然在式(5)中，矩陣變量P和參數矩陣K是非線性的，難以直接求解。定理2將給出其LMIs的求解方法。
定理2 滿足定理1條件(式（4)(5)）的充要條件為：對任意給定的正實數，存在非奇異陣X∈Rn×n，對稱正定矩陣Q∈R n×n， N個滿足αi≥0(i∈N)且Ni=1αi=1的實數αi和矩陣Wi，使得下列矩陣不等式成立：
證明 只需要證明式（4）（5）分別與式（12）（13）等價即可。將式（5）分別左乘diag{(PT)-1，I，I，(PT)-1}和右乘矩陣diag{P-1，I，I，P-1}，然后將式（3）中Aci和Cci所定義的矩陣代入，并記X=P-1，Wi=KiX，Q=XTSX，則可以推導出矩陣不等式（5）等價于不等式（13）。另外由變換關系，很容易得到式（4）與式（12）等價，故定理2得證。
根據以上得到的切換時滯奇異系統（1）的狀態反饋H∞控制器存在條件，可以按以下的步驟設計所需要的狀態反饋H∞控制器增益矩陣:
a)隨機產生滿足約束條件的非負實數αi；
b)利用MATLAB中的LMI工具箱，求取滿足定理2條件式（12）和（13）的非奇異陣X，對稱正定矩陣Q和矩陣Wi；
c)將解得的矩陣Wi和可逆矩陣X代入式（14），可求取狀態反饋H∞控制器增益矩陣Ki。
3 仿真算例
考慮由兩個時滯奇異子系統組成的切換系統（1），i∈{1，2}，參數如下：
A1=1203-11020，
A2=00-2109010，
Ad1=0．10．1000．10．10．100．1，
Ad2=0．10．10．10．1000．100．1，
E=100010
000，B11=0．3-0．1-1，
B12=0．4-0．1-1，
B21=-1-0．70．1，
B22=-1-0．80．2，
C1=[-1 2 1]，C2=[2 1 1]，D1=0，D2=1
取α1=0.8，α2=0.2，H∞指標γ=1。根據定理2，由MATLAB中的LMI工具箱，求得X、Q、W1和W2的一個可行解為
X=1.643 91.940 71.572 4
0.986 0-0.406 61.406 9
-0.765 21.439 7-2.206 3，Q=3.711 1-0.065 50.595 8
-0.065 54.063 3-0.330 6
0.595 8-0.330 62.681 7
W1=[2.886 0 -0.614 5 -3.570 4]
W2=[0.605 7 -0.096 5 -0.085 7]
由式（14）求得兩個狀態反饋子控制器增益矩陣為
K1=[-3.904 9 16.893 9 9.608 1]
K2=[-0.437 8 2.241 4 1.156 1]
4 結束語
本文利用Lyapunov函數方法和凸組合技術研究一類切換時滯奇異系統的狀態反饋H∞控制問題。本文得到的研究結果是一個充分條件，可用來設計子控制器和切換規則，但該類切換系統狀態反饋H∞控制器存在的充分必要條件尚有待進一步研究。
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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”
