基于圖像單調特性的盲源分離算法

(重慶郵電大學 信號處理與片上系統研究所， 重慶 400065）

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摘 要：

針對日常生活中兩幅圖像會出現混疊的情況，根據數字化圖像灰度值范圍有界特性和一般信號盲源分離的方法，提出了一種利用分離比值函數單調特性達到圖像盲分離目的的新算法。新算法根據接收端的觀察信號確定信號之間的比值函數，通過函數的單調性分析找到分離矩陣的關鍵值，從而實現圖像的盲源分離。本算法無須先驗知識，沒有統計相關性的約束條件，而且分離速度快、效果明顯，實驗仿真結果驗證了算法的有效性。

 關鍵詞：圖像盲源分離； 灰度值； 信號比值； 單調性； 統計相關

 中圖分類號：TN911.7 文獻標志碼： A

文章編號：10013695(2008)12366504

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Blind source separation algorithm based on monotone property of image

LI Xuesong， ZHANG Tianqi， YANG Liufei， DAI Shaosheng

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(Institute of Signal Processing SystemonChip， Chongqing University of Posts Telecommunications， Chongqing 400065， China)

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Abstract:

This paper presented a new method for analytical solution to image blind source separation based on monotone property of separation ratio function aiming to the two pictures in the daily life would appear to blend and pursuant to the digital image gray value range to have the edge property and common signal blind source separate method. The new arithmetic used observation signal of the receiver and obtained ratio function of signals， analysed functional monotonicity and found key value of separation matrix， realized image blind source separation. This arithmetic has no use for calculate a prior knowledge， there is no the constraint condition which statistical correlation， and separate speed quickly， effect obvious. The simulation result demonstrates the usefulness of arithmetic.

 Key words： image blind source separation; image gray value; satio of mixing signal; monotone property; statistical correlation

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0 引言

盲信源分離(blind signal separation，BSS)問題在近十年來逐漸成為信號處理和神經網絡領域研究的熱點之一。在無線通信、雷達、圖像、語音、醫學以及地震信號處理等領域具有良好的應用前景^[1]。

盲信號處理的基本框架就是根據優化準則，選擇合適的參照函數，采用某種優化方法來搜索參照函數的極值點^[2]。對于盲源分離來說，優化準則包括利用高階統計量的準則，信息最大、互信息最小化準則，非高斯性最大化準則和利用概率密度函數的準則。針對這些不同的優化準則就有不同的實現方法，如利用混合信號樣本進行估計得到的累積量矩陣進行特征值分解^[3]的方法，或通過復雜的矩陣變換對累積量矩陣進行聯合對角化^[4]，或利用神經網絡來對混合信號進行處理，通過無監督的自適應學習來優化一個對照函數，并不斷調整網絡的結構，使得神經網絡逐漸收斂，以此來對混合矩陣進行估計，從而得到對源信號的估計^[5]。

這些方法均是在獨立分量分析(ICA)方法上的進一步發展，而獨立分量分析存在兩個不確定性問題，即分離信號幅度的不確定性和順序的不確定性。對于圖像的盲源分離來說，順序的不確定性很容易克服，但是當分離出的信號幅度值相對原始信號幅度值不是按比例縮放時，這種情況下圖像盲分離就無法容忍。因為在數字圖像中幅度值表示的是亮度，人的眼睛對不同亮度之間的鑒別就會形成對圖像的不同認識^[6]；而如果在分離過程中使得圖像的灰度值大小交換了，分離出來的圖像就可能產生負片效果，從而改變接收端對圖像的認識。

本文結合圖像的特征及盲源分離問題處理手法提出一種新的圖像盲源分離算法，該分離算法不但無須任何先驗知識，而且就算兩幅圖像統計相關，同樣可以高效地將圖像信號分離出來。

1 盲源分離問題的描述

傳統盲源信號分離算法大多基于如下基本約束條件^[1]：

a)源信號si與sj(i≠j)之間相互統計獨立。

b)混合矩陣 A∈R m×n為列滿秩的矩陣，即rank( A )=n。

c)原始信號中最多只有一個源信號服從高斯分布。

d)各個源信號分量具有零均值和單位功率。

這些算法目的是只利用觀測數據xi(k)以及上述a)~d)約束條件恢復出原始信號si(k)。圖1表示相應的系統轉換過程。 

用數學公式就可以表示為



yi(k)= B xi(k)= BA si(k)= G si(k)(1) 

其中： A 為M×N矩陣，表示混合矩陣； B 為N×M矩陣，為解混矩陣；令 G=BA 為N×N的矩陣，稱為全局矩陣。最理想的分離效果是 G=I(I 為N×N階單位矩陣)，即 A=B -1。

本文提出的圖像盲分離算法只需滿足基本假設條件b)即可，因為圖像信號大多具有亞高斯特性^[7]，故基本假設條件c)作為圖像處理來說已經滿足。本文提出的算法可以無須滿足條件a)，換而言之，如果兩幅圖像統計相關，利用本算法同樣可以很好地完成分離任務。對于約束條件d)，可以通過去均值和白化等一系列預處理過程以后得到，但在本算法中去均值等預處理步驟也可以省略，從而提高分離速度。

不失一般性，本文先對圖像混合過程建立相應的數學模型。假設兩幅不同的原始圖像s1和s2大小均為L×R，為分析處理方便，將圖像逐行串接成1×N(N=L×R)的一維向量形式，這樣兩幅圖像將分別表示成s1(k)、s2(k)(k=1，…N；N=L×R)的一維向量。其中：si(k)(i=1，2)表示圖像中第k個像素位置的灰度值。圖像s1(k)和s2(k)經過傳感器輸出的x1(k)、x2(k)表示為

x1(k)=a11s1(k)+a12s2(k)

x2(k)=a21s1(k)+a22s2(k) (2) 

其中：k=1，…，N；混合矩陣 A = a11 a12a21 a22 是滿秩可逆矩陣，即det( A )≠0，其各元素aij>0(i， j∈{1，2})表示兩幅圖像的混合過程。在文獻[8]中為防止混合以后圖像的灰度值超出其表示范圍，要求混合矩陣 A 內各行之和為1，即ai，1+ai，2=1，但從工程的角度來看這種擔心是多余的。假設ai，1+ai，2>1，混合以后圖像的最大灰度值超出其表示范圍，因為混合過程并沒有交換灰度值的大小，所以可以將得到的灰度值歸一化以后重新調整到其表示范圍內。這里只要求混合矩陣中的各元素大于零即可，而混合矩陣中各元素小于零的情況找不到現實依據，故不予考慮。

利用混合矩陣 A 的第一行作為比例縮放因子，重新定義兩幅圖像的灰度值為

y1(k)a11s1(k)，y2(k)a12s2(k)(3) 

將式(3)代入到式(2)中，重新獲得傳感器輸出x1(k)，x2(k)的表達形式

x1(k)=y1(k)+y2(k)

x2(k)=b1y1(k)+b2y2(k) (4) 

其中:b1=a21/a11，b2=a22/a12。可以認為，式(4)中的y1(k)、y2(k)就是原始圖像s1(k)、s2(k)的拷貝，而矩陣 A ′=1 1b1 b2就是原始圖像拷貝y1(k)、y2(k)的混合矩陣。由矩陣論的相關知識也可以知道，式(4)和(2)所表示的意思相同，如果解出矩陣 A ′中的元素b1，b2，就可以估計出y1(k)、y2(k)，即原始圖像s1(k)、s2(k)。

2 圖像比值的單調性分析

注意到常規盲分離算法均存在幅度不確定性問題，而且不可避免地會使分離出來的圖像信號出現負片效果，嚴重影響接收端對圖像的認識。對于數字化了的圖像信號s(k)來說，圖像各個像素灰度值屬于0~Q=2q-1之間的整數（q表示像素深度(bit depth)，比較典型的是q=8，即各個像素點的灰度值是屬于0~255的整數）。充分考慮數字圖像灰度是有界數值信號這一事實，將接收到的混合信號逐個像素進行對比，分析其比值，可找到一種有別于傳統方法的算法。令

Rx(k)x2(k)/x1(k)=[b1y1(k)+b2y2(k)]/

[y1(k)+y2(k)](5) 

表示接收到的混合信號之間的比值；再假設Ry(k)=y2(k)/y1(k)表示原始圖像之間的比值，代入式（5）整理得到

Rx(k)=[b1+b2Ry(k)]/(1+Ry(k))(6) 

為了論述方便，本文將式(6)定義為分離比值函數，即混合圖像比值相對于原始圖像比值的函數。分析式(6)分離比值函數的單調性，兩邊分別對Ry(k)求導得

Rx/Ry=(b2-b1)/(1+Ry(k))2(7) 

由于b2-b1=0意味著a11a22-a12a21=0，即det( A )=0，與混合矩陣 A 的假設相沖突，可以不予考慮，故式(6)可以肯定是一單調函數，其單調性由b2、b1的大小決定。當b2-b1>0時，分離比值函數為單調增函數；當b2-b1<0時，分離比值函數為單調減函數。又因為圖像灰度值是一有界數值，故Ry(k)必然屬于[0，+∞]。結合式(6)可知，當Ry(k)=0時，Rx(k)=b1；當Ry(k)=+∞時，Rx(k)=b2，換而言之

min(b1，b2)≤Rx(k)≤max(b1，b2)(8) 

Rx(k)取值范圍的確定讓筆者找到了混合矩陣中b1、b2的值，為混合圖像的分離提供了便利。考慮如下一種極端的情況，假設存在像素點k1，使y2(k1)=0，y1(k1)≠0，則Ry(k1)=0；存在像素點k2，使y2(k2)=Q，y1(k2)=0，則Ry(k2)=+∞。通過Ry(k)的這兩個值即能得到Rx(k)的最大和最小值，即估計出了關鍵的混合參數b1 ∧ 和b2 ∧ 。但是從式(6)中可以發現，存在著下列兩種情況：

a)在b1

b1 ∧ =min(Rx(k))=Rx(k1)|Ry(k1)=0=b1

b2 ∧ =max(Rx(k))=Rx(k2)|Ry(k2)=+∞=b2 (9)

即分離出來的圖像順序與原始圖像順序相同。

b)在b1>b2時，

b1 ∧ =min(Rx(k))=Rx(k2)|Ry(k2)=+∞=b2

b2 ∧ =max(Rx(k))=Rx(k1)|Ry(k1)=0=b1 (10)

即分離出來的圖像順序與原始圖像順序不同。

x|y=a=b表示在y=a的條件下x=b。因此本算法分離出來的圖像同樣存在著順序不確定性問題，這種不確定性與混合矩陣中元素大小有關。

將估計值b1 ∧ 和b2 ∧ 代入到式(4)即可以獲得原始圖像的估計y1 ∧ (k)和y2 ∧ (k)。

y1 ∧ (k)y2 ∧ (k) =1 1b1 ∧b2 ∧ -1 x1(k)x2(k) (11) 

為減少對逆矩陣的計算量，根據逆矩陣的定義，對上式中求逆運算進行適當的簡化，得

y1 ∧ (k)y2 ∧ (k) = 1/(b2 ∧ -b1 ∧ ) b2 ∧-1-b1 ∧1x1(k)x2(k) (12) 

注意到圖像中各個像素的灰度值一般來說均是屬于0~Q= 2q-1的整數，而估計出的y1 ∧ (k)和y2 ∧ (k)的值可能不在[0，Q]內；同時由于分離比值函數是一單調函數，沒有顛倒y1 ∧ (k)和y2 ∧ (k)的灰度值，依然可以利用歸一化的辦法將灰度值重新映射到[0，Q]范圍內，恢復出原始圖像。

綜合以上討論可以得出本文的分離算法：

a)利用接收到的混合圖像信號，計算求得混合信號之間的比值Rx(k)=x2(k)/x1(k);

b)找到混合信號比值Rx(k)中最小值和最大值，分別賦予b1 ∧ 和b2 ∧ ，如果希望分離圖像與原始圖像順序一致，也可以交換b1 ∧ 和b2 ∧ 的值；

c)通過式(10)獲得原始信號y1 ∧ (k)和y2 ∧ (k)的估計值；

d)將y1 ∧ (k)和y2 ∧ (k)的值歸一化后再乘以Q，取整后即得到原始圖像的估計s1 ∧ (k)和s2 ∧ (k)。

3 算法的可分離性分析

在上面推導過程中，筆者假設當Ry(k)=0時，Rx(k)=b1；當Ry(k)=+∞時，Rx(k)=b2。可以初步認為，估計算法的準確程度與Ry(k)是否趨近于零或無窮有關。下面再用一般性圖像考證算法的可分離性。假設輸入的兩幅圖像中均無零值，即無明顯的“黑”點。令接收到的信號中有兩個不同像素點k1和k2，其位置分別是兩幅圖像中的最小灰度值，且

的距離|b2-b1|同樣也起著決定性的作用。同時也可以發現，當估計誤差e(b1)、e(b2)比較大時不能對混合圖像進行有效的分離。但是文獻[8]并沒有對此提出有效的解決辦法，本文對混合圖像的分離有效性再進一步作出分析。

由于分離過程中受b1，b2值的大小影響，分離后的圖像順序將會發生改變，為分析方便，在以下的分析中假設b1

先分析Ry(k)的最小值，受y2(k)最小灰度值接近于零的影響，也會非常地小，即式(14)中的α值變得很小，由式(15)可見，估計誤差e(b1)會很小。而Ry(k)的最大值受y1(k)最小灰度值偏大的影響，也變得比較小，即式(16)中的β值變小，估計誤差e(b2)偏大。

這時，估計誤差中的e(b1)的值接近于零，e(b2)的值偏大，對混合圖像的分離效果肯定不理想。考察式(17)中的估計誤差e(b2)，因為β和b2的值是固定的，要使e(b2)的值變小，可以用一個大于1的實數r乘以b2 ∧ 值，使其趨近于b2值，就可以迫使得e(b2)值向零收斂，達到有效分離的目的。反之，當b1>b2時，分離后的圖像順序發生改變。這時可以利用實數0

由于數字圖像質量定量的逼真度目前還沒有與人的主觀評價之間取得真正的一致性^[9]，工程中無法確定原始圖像的質量，故r的值可以通過開關逐步調節來獲得滿意的分離圖像。但在仿真實驗中，因為原始參數和混合參數已知，可以利用真實值與估計值的商作為r值達到有效分離的目的。

4 圖像盲源分離仿真實驗

1）實驗1

本組實驗對圖比函數的單調性進行考察。由前面的分析可知，式Rx/Ry=(b2-b1)/(1+Ry(k))2

說明了圖比函數是單調的增(減)函數。筆者輸入一組圖像對其單調性進行驗證，混合矩陣 A 隨機給出。實驗結果如圖2所示。

圖2中選用的四幅圖像最小灰度值分別為接近零點和遠大于零點的圖像，這樣做有利于考察圖像在不同的最小灰度值組合情況下的單調性。原始圖像右邊為MATLAB仿真結果的散點圖，橫軸表示Rx(k)，縱軸為Ry(k)。從仿真結果來看，圖2（a）和(c)中兩幅圖是在b1>b2情況下，分離比值函數為單調減函數，分離出的圖像將與原始圖像順序不同；(b)和(c)中兩幅圖則是在b1

2）實驗2

本組實驗使用Cameraman和Baboon兩幅圖像來進行實驗。這組實驗主要用來說明在原始圖像中只要有一幅圖像中某像素點的灰度為零值，就可以完全分離出混合圖像。實驗結果如圖3所示。

實驗中用到的服從高斯分布的混合矩陣 A 為

A = 0.657 4 0.837 30.979 0 0.376 3

計算可知，實際值為b1=1.489 1，b2=0.449 4，而且由于Cameraman這幅圖像中存在著零值的像素點，通過仿真估計出來的b1 ∧ =0.498 5，b2 ∧ =1.440 8。可見，這個時候仿真估計值和實際值之間的誤差e(bi)=|bi-bi ∧ |較小，分離效果比較理想，觀察其全局矩陣

1 1b ∧ 1 b ∧ 2-11 1b1 b2=

-0.051 3 1.052 11.051 3 -0.052 1 

在全局矩陣中的每一行和每一列中有且僅有一個元素遠大于其他的元素，故可以比較理想地分離出混合圖像。由于混合矩陣 A 中的b1>b2，且估計值b ∧ 1

3）實驗3

這組實驗筆者針對兩幅統計相關的圖像進行分離。實驗主要說明兩幅原始圖像就算是統計相關的，利用本算法同樣可以進行有效分離。本文輸入的兩幅人臉圖像十分相似，可以認為兩者之間的統計相關性很強，如果利用傳統盲信號處理方法將不能得到理想的分離結果，但是本算法并沒有相關性的約束，也可以進行有效分離。實驗結果如圖4所示。

實驗中用到的混合矩陣為

A = 0.5843 0.41240.2278 0.3300

計算可知，實際值為b1=0.389 8，b2=0.800 2。由于輸入的原始圖像中均存在有“黑”點，通過仿真估計出來的b ∧ 1=0.398 9，b ∧ 2=0.800 2，可見，這個時候仿真估計值與實際值相等，盡管這時輸入的兩幅圖像統計相關，但還是可以分離出非常理想的圖像。再觀察分離過程的全局矩陣

1 1b ∧ 1 b ∧ 2-11 1b1 b2=1.0000 0.0000-0.0000 1.0000 

在本組實驗中，由于混合矩陣 A 中的b1

4）實驗4

這組實驗筆者針對輸入的兩幅原始圖像中一幅圖像的最小灰度值偏大的情況進行分離的情況。輸入的兩幅圖像中一幅為Lena，在像素深度q=8的情況下，最小灰度值為35； 另一幅圖像為筆者利用Windows提供的畫圖程序自己創建的一幅圖像干擾圖像，其最小灰度值為225。實驗結果如圖5、6所示。 

本組實驗中用到的混合矩陣為

A = 0.664 7 0.205 50.920 2 0.740 8

計算可知，實際值為b1=1.384 3，b2=3.605 5，由于輸入的原始圖像中存在一幅圖像的灰度值偏高的情況，通過仿真估計出來的b ∧ 1=1.474 7，b ∧ 2=1.917 6。正如理論分析時所指出的一樣，估計誤差e(b1)=b1-b ∧ 1相對來說比較小，但是估計誤差e(b2)=b2-b ∧ 2太大，故在圖6中初步分離的分離圖像1效果很差，受另一幅圖像的嚴重干擾。如果使用實數r適當地調節仿真估計結果b ∧ 2，則會發現當實數r=1.88時，r b ∧ 2=3.605 1，這時的估計誤差e(b2)=b2-r b ∧ 2比較小，可以比較理想地分離出圖像來。從圖6中分離出來的分離圖像3可以發現已經比較逼近原始圖像1。

在仿真實驗中因為原始參數已知，對于調節參數r可以直接利用混合矩陣 A 中參數b2除以估計值b ∧ 2來獲得；而在工程 中由于對圖像質量的客觀評價著眼點不同而有多種評價方案，則需要對獲得的分離圖像逐步調節r值來達到滿意的分離效果。 

5 結束語

本文主要從兩幅原始圖像混合以后如何分離的角度出發，結合圖像本身的特點和一些基本信號盲源分離技術提出了一種新的分離算法。這種方法從兩幅圖像的分離比值函數單調性出發，通過求解混合圖像信號之間比值的最大值、最小值找到混合矩陣中的關鍵參數，是一種切實可行的圖像盲源分離算法。這種算法應用簡單，無須任何先驗知識，沒有統計相關性的約束，而且分離速度快、效果好。仿真實驗結果也證明了這種算法的可行性和可靠性。

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