關于H-矩陣Hadamard積的一個行列式不等式

劉俊同,李 龍

(1. 阜陽師范大學數學與統計學院,安徽阜陽 236041；2. 阜陽一中，安徽阜陽 236000)

0 引言

H-矩陣是一類特殊矩陣，它在計算數學、經濟學、管理科學、神經網絡和控制論等諸多學科都有著重要的應用.而矩陣的Hadamard積是一種特殊的矩陣乘積，它被廣泛的應用于量子計算、編碼理論、物理學和區組設計等問題中.基于這些重要的應用背景，H-矩陣的Hadamard積的特征值和行列式問題一直備受國內外專家學者的關注，關于這方面更多的內容請參見文獻[1-9].

Oppenheim于1930年證明了下述不等式(見文獻[1，P509])：給定兩個n級半正定矩陣A和B，則有

(1)

其中A°B表示矩陣A和B的Hadamard積，上述不等式稱為Oppenheim行列式不等式.

Lynn[2]和Ando[3]分別推廣了不等式(1)，它們差不多同時得到如下結果：給定兩個n級半正定矩陣A和B，則有

等價地

(2)

Li 和Li在文獻[4]中證明了如下結果：給定兩個n級實的H-矩陣A和B，則有

(3)

其中Ak表示矩陣A的第k個順序主子陣

Chen在文獻[5]中推廣了上述不等式(3)，得到了如下更整齊的結果：給定兩個n級H-矩陣A和B，則有

(4)

其中μ(A)表示矩陣A的比較矩陣，具體定義見下一小節.

本文將利用數學歸納法、M-矩陣和H-矩陣的基本理論以及不等式的構造和放縮技巧推廣不等式(4)到更一般形式.

1 符號、定義和引理

為了表述方便，首先介紹一些符號.設Cm×n(Rm×n)表示m×n復(實)矩陣的全體組成的集合，A≥0(A>0)表示矩陣A的所有元素都是非負(正)的 .對于兩個相同級數的矩陣A和B，用A°B表示矩陣A和B的Hadamard積，設A=(aij)∈Cn×n，常用Ak(k=1,2,…,n)表示矩陣A的第k個順序主子矩陣，Aα表示矩陣A的指標位于α?{1,2,…,n}的主子矩陣.

定義1[10]稱集合

Zn×n={A=(aij)∈Rn×n:aij≤0,i≠j,i,j∈{1,2,…,n}}

中的矩陣為Z-矩陣.

易知A=(aij)∈Rn×n是Z-矩陣的充分必要條件是存在α∈R，P∈Rn×n，且P≥0，使得A=αE-P.

定義2[10]設A=(aij)∈Cn×n，若A是Z-矩陣，且對任意的k=1,2,…,n，都有第k個順序主子矩陣的行列式|Ak|>0，則稱矩陣A是M-矩陣.

則稱μ(A)為矩陣A的比較矩陣.

定義4[10]設A=(aij)∈Cn×n，若矩陣A的比較矩陣是M-矩陣，則稱A是H-矩陣.

易證M-矩陣(H-矩陣)的每一個主子矩陣還是M-矩陣(H-矩陣).

為了陳述和證明主要結果，我們需要下述引理

引理1[3]設A=(aij)∈Rn×n是一個M-矩陣，若

特別地，有

(5)

引理2[2]若A和B是兩個n級H-矩陣，且C=A°B，則矩陣C也是一個n級H-矩陣.

引理3 設a和b是兩個實數，且有a≥1，b≥1，則有ab≥a+b-1.

證明：因為a≥1，b≥1，于是有

ab-a-b+1=(a-1)(b-1)≥0

所以，有

ab≥a+b-1

2 主要結果

證明由引理2，知A1°…°Am仍是H-矩陣，對矩陣的個數k使用歸納證明.當k=2時，定理歸結于Chen 的結果(4)，假設當k=m-1時，定理成立，即

成立，下證當k=m時，定理也成立，即證

通過不等式(4)，有

應用歸納假設，則有

(6)

記

(7)

(8)

應用引理1，通過不等式(5)，有

(9)

因此有，

xk≥1,yk≥1

利用引理3，有

xkyk≥xk+yk-1

(10)

結合不等式(7)、(8)、(9)和(10)，不等式(6)進一步可化為

3 小結

本文結合H-矩陣的基本理論、矩陣Hadamard積的性質以及不等式的構造和放縮技巧，證明了H-矩陣Hadamard積行列式不等式的一個重要結果，推廣了已有文獻的結果.H-矩陣是一類應用范圍極其廣泛的矩陣，對H-矩陣理論展開研究一方面可以豐富H-矩陣理論，另一方面對矩陣理論也有一定的拓展意義.