《可能性》學習指導

王建波

一次，一位病人到醫生那里就診．醫生在檢查完病情后說：“你病得很重，這種病是‘九死一生的?。　?/p>

“上帝，我快完了！”病人幾乎被嚇昏了．

“不過，你是可以活的．”

“有什么根據嗎？”

“因為你找到了我．”

“您醫術高明，我真不知道怎樣報答您……”

“不，不是因為我醫術高明，而是因為我已經醫治過9個患有這種病的人，他們都已經死了——所以，你一定能活．”

“……”

醫生說的話對嗎？

從本章起，我們將進入一個不確定性世界，開始接觸不確定事件，初步體會不確定事件的特點，并對不確定事件發生的可能性作定性認識，知道事件發生的可能性是有大小的．我們還將體驗一種區別于以往的確定性的思維方式——不確定性思維，并運用所學的知識對一些不確定現象作出解釋，對現實生活中的一些實際問題作出預測和決策．

本章教科書展開的線索大致是：通過摸球游戲等活動體會有些事件的發生是不確定的；對不確定事件發生的可能性作定性認識，知道事件發生的可能性是有大小的；進一步體會不確定現象的特點，樹立正確的隨機觀念．

在學習本章時要注意以下一些方面的問題．

1． 初步體驗有些事件的發生是確定的，有些則是不確定的，能區分確定事件和不確定事件．

區分確定事件和不確定事件，初步體會不確定現象的特點是學習概率的前提，對不確定事件特點的體會，應該在同學們感興趣的游戲活動或具體情境中逐步實現．

例1在一個不透明的口袋中裝著大小、外形等一模一樣的5個紅球、3個黃球和2個白球，它們已經在口袋中被攪勻了．請判斷以下事件是不確定事件、不可能事件還是必然事件．

（1）從口袋中任意取出1個球，是白球；

（2）從口袋中同時任意取出5個球，全是黃球；

（3）從口袋中同時任意取出5個球，只有黃球和白球，沒有紅球；

（4）從口袋中同時任意取出6個球，恰好紅、黃、白三種顏色的球都有．

解：（1）不確定事件．

（2）不可能事件．

（3）不確定事件．

（4）不確定事件．

例2你認為下面的說法正確嗎？談談你的理由．

（1）買彩票中獎的可能性太小了，是不可能事件；

（2）拋擲一枚均勻的硬幣，出現正面是必然事件，因為拋擲很多次后總有一次會出現正面；

（3）足球運動員技術嫻熟，因此“10次射門命中球門次數大于1”是必然事件．

解：（1）不正確．事件發生的可能性小并不意味著不可能發生．事實上，買彩票中獎的可能性雖然很小，但總是有人會中，因此是不確定事件．

（2）不正確．每一次拋擲出現正面或反面都是不確定事件．

（3）不正確．事件“10次射門命中球門次數大于1”發生的可能性大，但并不意味著必然發生．

上面兩個例子都是同學們生活中常見的問題，可以使同學們充分感受到身邊的不確定事件，并初步體會不確定現象的特點．

2．知道事件發生的可能性是有大小的，能對一些簡單事件發生的可能性作出描述．

例3從分別標有號碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10張卡片中任意取出1張，下面有6個事件：①號碼是奇數；②號碼是偶數；③號碼是10；④號碼既是2的倍數又是3的倍數；⑤號碼既是3的倍數又是4的倍數；⑥號碼小于8．其中：

（1）有沒有必然事件？若有，是哪個事件？

（2）有沒有不可能事件？若有，是哪個事件？

（3）哪一個事件出現的可能性最大？

（4）哪一個事件出現的可能性最??？

（5）有沒有出現可能性一樣大的事件？若有，是哪些事件？

解：（1）沒有必然事件．

（2）事件⑤是不可能事件．

（3）事件⑥．

（4）事件⑤．

（5）可能性一樣大的事件有兩組，它們是①和②，③和④．

此例把對必然事件、不可能事件、不確定事件的判斷與對事件發生的可能性大小的比較聯系在了一起，可以幫助大家更好地理解相關的概念．

例4有背面完全相同的3張卡片，正面如圖1所示，現讓它們背面朝上，從中任意摸出2張，下面的兩個事件中，哪個事件發生的可能性較大？

事件A：摸出的2張恰好拼成“貓捉老鼠”圖案；

事件B：摸出的2張不能拼成“貓捉老鼠”圖案．

解：可以做3張卡片試一試．當然，也可以通過分析任意摸出2張卡片出現的所有可能結果，得到正確判斷．

因為從3張卡片中任意摸出2張共有以下3種結果：圖（1）和圖（2），圖（1）和圖（3），圖（2）和圖（3）． 其中只有1種情況（摸出圖（1）和圖（3））能拼成“貓捉老鼠”圖案，其他2種均不能拼成“貓捉老鼠”圖案，不能拼成的多于能拼成的，所以事件B發生的可能性大．

確定一次試驗中某事件發生的可能性的大小時，首先要明確這次試驗中所有可能出現的結果，然后看這些結果中能使該事件發生的有哪些，其個數是多還是少．

例5 在小攤上，常見有人玩轉盤游戲．圖2是某攤主的轉盤示意圖，圖中C、E兩區的面積均為A區面積的2倍．攤主說：“交上2元錢，便可轉動轉盤1次．如果指針指向A區，攤主返還游戲者4元；指針指向B區，攤主返還游戲者2元；指針指向其他區游戲者就什么也得不到．”攤主又說：“因為A區有4個，加上B區共5個，其他區合起來才3個，我吃大虧了．”攤主真吃虧了嗎？說出你的道理．

解：根據游戲規則，如果指針指向C、E兩區，攤主將盈利2元；如果指針指向A區，攤主將虧損2元．因為C、E兩區的面積和與4個A區的面積和相等，所以在A、C、E這幾個區域內可視作攤主的盈利與虧損大致相當．另外，如果指針指向B區，攤主將不虧不盈；如果指針指向D區，攤主將盈利2元．而B、D兩區面積相等，所以在B、D這兩個區域內攤主將會盈利．

從上面的分析可知，攤主盈利與否不能只看相關區域的數量，而要看這些區域的面積，即看指針落在不同區域的可能性大?。畯目傮w來看，攤主非但不會虧損，還將會有盈利．

此例要求我們預測一些實際問題中的盈虧情況，其中分析事件發生的可能性大小是預測的前提．當然，此題還牽涉有關可能性的進一步計算，要求有些過高，但只要大家牢牢把握事件可能性大小這一核心，問題就迎刃而解了．

3．初步體會不確定性思維與確定性思維的差異，形成正確的隨機觀念．

如何體會不確定性思維與確定性思維的差異，形成正確的隨機觀念是學習概率的一個重點，同時也是一個難點．同學們在學習概率的初期，難免存在一些錯誤認識．建議大家在面對相關問題的時候，不妨多動手進行操作，通過活動和試驗不斷地體會概率的意義．

例6如果某彩票的中獎率為1％，那么買100張這種彩票一定會中獎嗎？（假設該種彩票足夠多）

解： 由生活經驗我們不難知道，買100張這種彩票也不一定會中獎．實際上，買100張彩票相當于做了100次試驗，因為每次試驗的結果都是不確定的，所以做100次的結果也是不確定的．也就是說，每張彩票既可能中獎，也可能不中獎，因此這100張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有許多張中獎．另一方面，雖然中獎張數是不確定的，但這種不確定中具有規律性．隨著試驗次數的增加，即隨著所買彩票張數的增加，大約有1％的彩票中獎．實際上，我們可以算出：買100張彩票沒有一張中獎的概率為100≈ 0．366，中獎的概率為1 － 100≈ 0．634．

例7 某天北京的降水概率是50％，上海的降水概率是80％．假如這天北京下雨了，上海是否一定會下雨？

解：我們考察北京歷史上的天氣記錄，如果和這天在氣壓、云層、溫度等天氣條件方面相同的天數是100天，而其中有50天降雨了，那么就說這天北京的降水概率是50％；這天上海的降水概率是80％的道理也一樣．也就是說，“這天降雨”是一個不確定事件，這天北京的降水概率是50％，上海的降水概率是80％，只是說明這天上海降雨的可能性比北京大，并不表示這天北京降雨了上海就一定會降雨．如果這天北京降雨了而上海沒有降雨，這只能說明可能性較小的事件發生了而可能性較大的事件卻沒有發生，這也正是隨機事件發生的不確定性的體現．

通過本章的學習，同學們不僅學到了概率的相關基礎知識，還可從中了解不確定現象的基本特點，體會隨機的思想．在現實世界中，嚴格確定現象十分有限，不確定現象卻是大量的，但是在大量的不確定現象中卻也存在著規律性．概率就是研究大量不確定事件發生的規律的科學，我們可以通過概率內容的學習進一步認識自然和社會，并作出合理的預測和決策．

現在回到一開始講的故事中來，試試看用我們學習到的概率的知識能不能解釋“九死一生”的真正含義．事實上，一個人患了上述那種疾病，后果有兩種可能：生和死．生也好，死也好，都可以看成不確定事件．由于這種疾病是“九死一生”的，因此，可以認為患這種病的人活的概率是0．1，死的概率是0．9．但是，按照概率的正確含義，它只能說明患這種病死的人相當多，比如說10 000個病人中，大致有1 000個能活下來，而不能保證每10個這種病人，必定是9個死1個活．那位醫生正是錯誤地解釋了“概率”的意義，才使他所作出的結論成了笑話．

當我們對概率知識有了一定的了解后，就不會出現類似上面醫生的笑話啦！

本刊快訊

2007年12月5日，在中國少年兒童報刊工作者協會第六屆理事大會上，本刊榮獲第三屆中國優秀少兒報刊金獎． 這是繼蟬聯國家科委、中共中央宣傳部、國家新聞出版總署頒發的“全國優秀科技期刊”，榮獲國家新聞出版總署頒發的“中國期刊方陣·雙百期刊”之后，本刊獲得的又一殊榮．

本刊編輯部

2007年12月6日