探究三角形三個內角的和

2008-07-11 10:18:46侯偉

中學生數理化·七年級數學北師大版 2008年4期

侯　偉

[問題與情境]

1．如圖1，做一個三角形紙片，它的三個內角分別為∠1、∠2和∠3，將∠1撕下進行拼接，使∠1的頂點與∠2的頂點重合，它的一條邊與∠2的一條邊重合.此時∠1的另一條邊與∠3的一條邊平行嗎？為什么？

2. 將∠3與∠2的公共邊延長，它與∠1的另一條邊夾的角為∠4，∠3與∠4的大小有什么關系？為什么？

由上面問題可以得到：三角形3個內角的和等于180°．

特別地，直角三角形的兩個銳角互余.

[開眼界]

千奇百怪的三角形

在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來，都會等于180°.即使是畫上100個、1 000個，也絕對不會有一個例外.那么，能不能找到一種三角形，它的內角和不等于180°呢？在200年前，如果有誰提出了這樣一個問題，準會有人對他嗤之以鼻，因為三角形內角和等于180°是幾何書中的一個定理！定理就是經過邏輯推理證明是正確的數學結論.如果有誰不信“邪”，仍要來問一聲：“這個定理就一定那么可靠嗎？”那么，人們就會搬來經典著作《幾何原本》，指著第五公設對他說：“瞧，這個定理的正確性可以由它來保證.”公設也就是公理，是一種最基本的數學結論，它們的正確性經過了時間的反復證明，是不證自明的.不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個公理的基礎上，有誰敢懷疑“三角形的內角和等于180°”這個定理，也就等于懷疑第五公設有問題.如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？不過，有些數學家們對這個第五公設是不大滿意的.《幾何原本》問世后的2 000多年里，數學家傾注了無窮無盡的智慧，始終也未能證明第五公設.雖然有不少人曾宣稱解決了這個問題，但一檢查就發現，不是證明過程有錯誤就是用了個更不明顯的公設代替了第五公設.無可奈何之下，大數學家達朗貝爾稱它是“幾何學中的家丑”.

19世紀初，有個叫亞諾什－波里亞的匈牙利青年，決定獻身于第五公設的研究.他很快就發現，只要改變第五公設，就可以創造出一種新的幾何學來，于是他提出了一個新的平行公理：“在平面內，過已知直線外一個點，至少可以作出兩條與已知直線相平行的直線．”這個新公理否定了平行線的唯一性.以它為基礎，再加上原來的9個公理，就組成了一門新的幾何學，叫雙曲幾何學.凡是與舊的平行公理有關的定理，在雙曲幾何學中統統變得面目全非.例如，在雙曲幾何學中，不存在矩形，也不存在相似三角形.最有趣的是，不同的三角形就有不同的內角和，而它們又都比180°??！

雙曲幾何學更精確地反映了現實空間，但是，在我們的日常生活里，傳統幾何學已經足夠精確了.在我們身邊這個不大不小的空間里，傳統的幾何學仍然是適用的.因此，在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把它的3個內角加起來，都會等于180°.但我們也應當知道，在數學王國里，確實還有一些“稀奇古怪”的三角形，它的內角和是不等于180°的.

[經典例析]

例1 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C ＝ 1∶2∶3，求∠A、∠B和∠C的度數.

解：設∠A ＝ x，則∠B ＝ 2x，∠C ＝ 3x．

由三角形內角和定理，得x ＋ 2x ＋ 3x ＝ 180°.

解之，得x ＝ 30°．所以∠A ＝ 30°，∠B ＝60° ∠C ＝ 90°.

借助方程思想解幾何問題是一種常見的數學方法，本題用代數式表示每一個角，再利用三角形內角和是180°列出一元一次方程求解．今后當碰到與三角形的角有關的計算或證明題時，首先就應該想到三角形內角和定理.

例2 適合下列條件的△ABC是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形？

（1）∠A ＝ 20°，∠B ＝ 75°；（2）∠A － ∠B ＝ 30°，∠B －∠C ＝ 30°；

（3）∠A ＝ ∠B ＝ ∠C.

解：（1）因為∠A ＝ 20°，∠B ＝ 75°，所以∠C ＝ 180°－20°－75°＝85°．所以△ABC是銳角三角形.

（2）因為∠A － ∠B ＝ 30°，∠B － ∠C ＝ 30°，又∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝180°，所以解由上面各式組成的方程組可得∠ A ＝ 90°．所以△ABC為直角三角形.

（3）設∠C為x，則∠A ＝ x，∠B ＝ x．因為∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ 180°，所以x ＋ x ＋ x ＝ 180°．解得x ＝ 120°，即∠C ＝ 120°．故△ABC為鈍角三角形．

三角形的形狀多種多樣，按角的大小可將其分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個內角為鈍角，這個三角形必為鈍角三角形，故（3）中不必再求其他角的度數；有一個內角為直角，這個三角形必為直角三角形，故（2）中只要找到∠A ＝ 90°即可得出結論；銳角三角形的內角必須都是銳角.

例3 如圖2，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，CD⊥AB于點D.

（1）圖中有幾個直角三角形？

（2）有哪些銳角相等？

解：（1）圖中有3個直角三角形，分別為Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD.

（2）∠1 ＝ ∠A，∠2 ＝ ∠B.

利用“直角三角形的兩銳角互余”，“同角或等角的余角相等”很容易得出∠1 ＝ ∠A，∠2 ＝ ∠B．通過本題要熟知：直角三角形斜邊上的高把直角三角形分割成兩個直角三角形，它們有兩對銳角相等.

[即學即練]

1．在△ABC中，已知∠B ＝ ∠C ＝ 2∠A，則∠A的度數為（）．

A．72° B．45° C．36° D．30°

2．有下列3個說法：

①一個三角形的3個內角中至多有1個鈍角；

②一個三角形的3個內角中至少有1個銳角；

③一個三角形的3個內角中至多有1個直角．

其中正確的個數是（）．

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

3. 三角形的3個內角都相等，則這個三角形是（）．

A．銳角三角形 B．直角三角形

C．鈍角三角形 D．不能確定

4. 如圖3，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4等于（）．

A．140° B．180° C．280° D．360°

5．直角三角形中，兩個銳角的差為40° ，則這兩個銳角的度數為[ ].

6. 在△ABC中，∠A － ∠B ＝ 60°，∠C ＝ 4∠B，∠C ＝[ ] .

7. △ABC中，∠C ＝ 2（∠A ＋ ∠B），求∠C.

8. 如圖4，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E．請問：∠ACE與∠ABD之間有什么關系？并說明理由.

9. 如圖5，直線AD、BC相交于點O，∠A ＝ ∠B，∠C ＝ ∠D，直線AB、CD有什么位置關系？請說明理由.

10. 小強喜愛鉆研數學，他從小明探索三角形內角和為180° 中發現，是平行線起了關鍵作用，于是他嘗試著利用圖6所示的方法，居然也得到三角形的內角和為180° ．你能明白其中的道理嗎？

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