四邊形知識解讀

作者簡介 鄧明鳳，湖北航天中學高級教師，市學術帶頭人，學校團委書記、黨群辦副主任.曾在省、市優質課比賽中獲一等獎，多次在各級論文比賽、教案評比中獲獎；輔導學生多人次在各級數學競賽中獲獎；在報刊上發表論文十余篇；參與了人教社新課標教師教學用書《數學》八年級分冊有關內容的編寫；參與了新課標數學《金牌教案》的編寫工作；先后獲得市優秀教師、優秀班主任、青年崗位能手等榮譽稱號；多次承擔省、市教師示范課講授任務.

[一、主要知識點]

1.平行四邊形的性質和判定

（1）平行四邊形的性質：①對邊平行；②對邊相等；③對角相等、鄰角互補；④對角線互相平分；⑤中心對稱圖形（兩條對角線的交點是對稱中心）.

（2）平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形.

2.特殊平行四邊形的性質和判定

3.特殊平行四邊形與平行四邊形的關系

平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系如圖1所示.

[二、例題講解 ]

例1如圖2，在#9649;ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．

（1）試證明：四邊形AFCE是平行四邊形．

（2）若去掉條件“∠DAB=60°”，（1）的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

思路分析：（1）由條件可知EC∥AF，要證四邊形AFCE是平行四邊形，只需證明EC=AF即可，即只需證明ED=BF.而利用條件可證明△AED、△CFB都是等邊三角形，從而命題得證.（2）要探討四邊形AFCE是否仍然是平行四邊形，只需使用（1）中的解決辦法，但在證明ED=BF時，必須證明它們所在的三角形全等.

解：（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以AB∥CD ， ∠DCB=∠DAB=60°，所以∠ADE=∠CBF=60°.

因AE=AD，CF=CB，故△AED和△CFB都是等邊三角形.因EC=CD+DE=CD+AD，AF=AB+BF=AB+BC，故EC=AF.

又AB∥CD，故EC∥AF，所以四邊形AFCE是平行四邊形.

（2）上述結論依然成立，證明如下：

∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF.

又∵∠ADE=∠DAB=∠BCD=∠CBF，

∴∠AED=∠CFB.

又∵AD=BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）.ED=FB.

下同（1），四邊形AFCE是平行四邊形.

方法規律：要證明一個四邊形是平行四邊形，方法有五種，要結合題設，做出恰當選擇.本題中已有一組對邊平行，那么只需再證明這一組對邊相等即可（證明另一組對邊平行也可以，但難度較大）.

例2如圖3，在四邊形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF.

（1）若四邊形AECF是平行四邊形，試證明：四邊形ABCD是平行四邊形.

（2）若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD也是菱形嗎？為什么？

（3）若四邊形AECF是矩形，試判斷四邊形ABCD是否為矩形，不必寫理由.

思路分析：由于點E、F都在四邊形ABCD的對角線上，且“BE=DF”這個條件也與對角線BD有關，故考慮從對角線的角度去判斷四邊形ABCD的形狀.

解：（1）因為AO=CO，EO=FO，BE=DF，所以BE+EO=DF+FO，即BO=DO，所以四邊形ABCD為平行四邊形.

（2）因為AECF是菱形，所以AC⊥BD.

又由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形.

（3）四邊形ABCD不是矩形（因為盡管四邊形AECF的對角線相等，但四邊形ABCD的對角線顯然就不相等了）.

方法規律：本題設置的三個小問題，考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質.這些特殊四邊形的判定方法和性質都可以從邊、角、對角線考慮，因而證明方法也不唯一.比如，也可證明△AFD≌△CEB（SAS），△ABE≌△CDF（SAS）.

[三、考題演練]

1. （2007年·眉山）下列命題中的假命題是（）．

A． 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B． 一組鄰邊相等的矩形是正方形

C． 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D． 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形

2. （2006年·杭州）如圖4， 已知正方形ABCD的邊長為2， △BPC是等邊三角形，則△CDP的面積是________，△BPD的面積是_________.

3. （2007年·臨沂）如圖5，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點.要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是_________.

4. （2006年·宿遷）如圖6，在#9649;ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，且分別交CD于點E、F.AE、BF相交于點M.

（1）試說明AE⊥BF.

（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明.