平行線的性質探索兩例

掌握平行線的性質和判定定理是學好初中幾何知識的基礎，下面是我在學習過程中嘗試運用平行線的性質解題的過程，寫出來與大家共同交流．

題1如圖1，已知AB∥EF，試說明∠BCF=∠B+∠F．

上面的條件可歸納為以下三個部分：①AB∥EF；②一條折線BCF在兩條平行直線AB、EF之間；③折線BCF折一次．

（1）把其中的折線BCF折一次改為折兩次．如圖2，已知AB∥EF，試說明∠α+∠CDF=∠β+∠BCD.

（2）把條件中的點C在AB、EF之間改為點C在AB、EF之外．如圖3，已知AB∥EF，試說明∠α、∠β與∠ACM之間有何關系．

[分析：]在圖1中，過C點作CD∥AB，很容易得出∠BCF=∠B+∠F.因此用作平行線的方法可以解決（1）和（2）兩題．

解： 如圖1，作CD∥AB，根據平行線的性質易證明∠BCF=∠B+∠F.

（1）如圖2，分別過C、D作CG∥AB，DH∥AB.

∵EF∥AB，CG∥AB，DH∥AB，

∴EF∥AB∥CG∥DH.

∴∠α=∠1，∠2=∠3，∠4=∠β.

∴∠α+∠CDF=∠1+∠β+∠2=∠BCD+∠β.

（2）如圖3，過點C作CN∥AB.

∵EF∥AB，CN∥AB，

∴EF∥AB∥CN.

∴∠α=∠1，∠NCM=∠β=∠1+∠ACM.

∴∠β=∠α+∠ACM.

探索心得：涉及兩條平行線間的折線問題時，通常過折點作與兩平行線都平行的直線，構造相等角或補角解題.同時要根據圖形的位置關系，結合各種情況分類討論．

題2直線AB∥CD，它們之間有一動點E，AB上有一動點M，直線CD上有一動點N，畫圖觀察∠AME、∠CNE和∠MEN（均小于180°）之間的關系，并證明你的結論.

[分析：]題中有三個動點，可把M、N看做定點，則點E可能在M、N所在直線的左邊、右邊或直線MN上.故分三種情況討論．

解： （1）當點E在M、 N所在直線的左邊時，如圖4，有∠AME+∠CNE=∠MEN.理由如下.

過點E作EF∥AB.

∵CD∥AB，EF∥AB，

∴EF∥AB∥CD.

∴∠AME=∠1，∠CNE=∠2.

∴∠AME+∠CNE=∠1+∠2=∠MEN.

（2）當點E在M、N所在直線的右邊時，如圖5，有∠AME+∠CNE+∠MEN=360°.理由如下.

過點E作EF∥AB.

∵CD∥AB，EF∥AB，

∴EF∥AB∥CD.

∴∠AME+∠1=180°，∠CNE+∠2=180°.

∴∠AME+∠CNE+∠MEN=360°.

（3）當點E在直線MN上時，如圖6，∠MEN是平角.此時，∠AME+∠CNE=∠MEN.

探索心得：解答動態問題時，要從動中覓靜，在運動變化過程中探索問題的不變性.既要考慮問題的一般情形，也要考慮問題的特殊情形．

指導老師：田道元

【責任編輯：穆林彬】