聚焦平面直角坐標系中的面積問題

我們經常會遇到一些與平面直角坐標系有關的面積問題，三角形或四邊形的頂點都可以用坐標表示出來，讓我們求圖形的面積.下面我們就將這類求面積的問題總結一下，希望能對大家有所啟發.

1. 求一邊在坐標軸上的三角形的面積

例1如圖1，在△ABC中，點A、B、C的坐標分別為（1，0），（6，0），（2，4），求△ABC的面積.

[分析：]這道題要求的是△ABC的面積，由于△ABC的一邊在坐標軸上，所以可以把線段AB看做三角形的底邊，把點C到x軸的垂線段看做三角形的高，這樣便可順利地求出面積.

解： S△ABC=×5×4=10.

[評注：]當三角形的一邊在坐標軸上時，往往可以把這一邊看做底邊，把另一頂點到坐標軸的垂線段作為高，然后再求面積.當圖形平移到坐標軸上其他位置時一樣可以用這種方法求解.

2. 求三條邊都不在坐標軸上的三角形的面積

例2如圖2，在△AOB中，點A、O、B的坐標分別是（1，5），（0，0），（4，2），求△AOB的面積.

[分析：]對于這類題，可將所求三角形的面積轉化為幾個圖形的面積的和或差，如△AOB的面積可以看做一個矩形的面積減去三個小三角形的面積.要注意，與x軸（或y軸）平行的線段上的點的縱坐標（或橫坐標）相同，線段的長度等于線段的兩個端點的橫坐標（或縱坐標）的差的絕對值.

解： 過點A作AE⊥y軸于E，過點B作BC⊥x軸于C.分別延長線段EA和線段CB，使它們相交于D點，則∠EDC = 90°.由A、B兩點的坐標可知，OC=4，BC=2，BD=3，AD=3，AE=1，OE=5.所以有

S△AOB=S矩形EOCD-S△AEO-S△ADB-S△OBC

=4×5-×5×1-×3×3-×4×2

=20---4

=9.

[評注：]對于三條邊都不在坐標軸上的三角形來說，求面積時一般通過構造特殊圖形來解決問題，如在這道題中我們將△AOB的面積轉化為一個矩形的面積與三個小三角形的面積之差.如果將三角形平移到平面直角坐標系內其他位置，解題方法類似.

3. 求一邊在坐標軸上的四邊形的面積

例3如圖3，四邊形OABC在平面直角坐標系內，O、A、B、C 四點的坐標分別為（0，0），（1，2），（5，4），（6，0），求四邊形OABC的面積.

[分析：]過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E，這樣四邊形OABC的面積就變成兩個三角形的面積與一個直角梯形的面積之和了.

解： 過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E.

由點的坐標的意義可知，AD=2，OD=1，DE=4，EC=1，BE=4.所以有

S四邊形OABC=S△AOD+S直角梯形ADEB+S△BEC

=×1×2+×（2+4）×4+×1×4

=1+12+2

=15.

故四邊形OABC的面積為15.

[評注：]這道題還可以用例2的方法解，把四邊形OABC的面積轉化為一個矩形的面積減去三個三角形和一個小矩

形的面積，同學們不妨一試.

4. 求四條邊都不在坐標軸上的四邊形的面積

例4如圖4，四邊形ABCD的四個頂點在平面直角坐標系內，A、B、C、D 四個點的坐標分別為（4，4），（-3，2），（-1，-1），（2，-1），求四邊形ABCD的面積.

[分析：]四邊形ABCD的面積可以看成是一個長方形的面積減去一些小三角形的面積.

解： 過點A作AF與直線CD垂直，垂足為F，過點B作BE與直線CD 垂直，垂足為E，過點A作AG與直線BE垂直，垂足為G.

由點的坐標的意義可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.所以有

S四邊形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF

=5×7-×2×7-×2×3-×2×5

=35-7-3-5

=20.

所以四邊形ABCD的面積為20.

[評注：]四邊形的面積往往可以轉化成一個矩形的面積與一些小三角形面積的差（或和）的形式，這已成為解決平面直角坐標系中圖形面積問題的基本方法.

【責任編輯：潘彥坤】

零——始于何時何地

零對于數的系統來說是必不可少的．但是，當開始創造數的系統時，并沒有自動包含零．事實上，古埃及人的數的系統就沒有零．公元前1700 年左右，六十進制數的位置系統發展起來．古巴比倫人將它與他們的360 天的日歷相結合，并進行復雜的數學運算，但其中并沒有設計零的符號，而是在需要放置零的地方留一個空的位置.大約在公元前300 年，巴比倫人開始用一個符號表示零．在巴比倫人之后，瑪雅人和印度人發展了數的系統，他們的系統內有一個符號代表零，這個符號既起位置的作用，也起數零的作用．