認識“三垂”

陳德前江蘇省數學特級教師，江蘇省興化市教育局教研室副主任，中國管理科學研究院學術委員會特約研究員，江蘇省考試研究會會員，江蘇省教育學會中學數學教育專業委員會會員，泰州市教育學會數學教育委員會會員，泰州市人民政府兼職督學，泰州市數理化學會會員，泰州市教育學會副秘書長.

這里要說的“三垂”是指垂直、垂線、垂足，它們都有一個“垂”字，且都與直角有關，但又有著明顯的區別.垂直是指兩條直線之間的一種特殊位置關系，即兩條直線相交所成的角是直角.垂線是一個名稱，兩條直線互相垂直，我們就可以說其中一條直線是另一條直線的垂線.只有一條直線，我們不能說它是垂線.垂足也是一個名稱，互相垂直的兩條直線的交點即為垂足，它是一個點.

如圖1，直線AB和直線CD相交于O點，且∠AOD=90°，那么直線AB與直線CD就互相垂直，我們可以用AB⊥CD來表示.直線AB是直線CD的垂線，直線CD 也是直線AB的垂線，O為垂足.

1. 學習垂線必須要注意的幾點

（1）不能認為只有水平線和鉛垂線才互相垂直，兩條直線是否互相垂直是由兩條直線的夾角決定的，而與兩條直線的放置方法無關.

（2）兩條直線相交所成的角是直角，這兩條直線就互相垂直. 反之，兩條直線互相垂直，這兩條直線相交所成的角是直角.要注意，兩條直線互相垂直構成直角并不能作為直角的定義.

（3）互相垂直的概念可以擴大到線段或射線上.如果兩條直線互相垂直，則在這兩條直線上分別取線段或射線也必然互相垂直.兩條線段或兩條射線所在的直線相交所成的角是直角，這兩條線段或射線就互相垂直（如圖2）.

2. 畫互相垂直的兩條直線的方法

（1）利用方格紙畫.利用方格紙可以畫出互相垂直的線段，如圖3，AB⊥CD，垂足為O，EF⊥GH，垂足為P.

（2）利用三角板畫.當需要經過直線外一點向已知直線作垂線時，我們可以利用三角板來畫.利用三角板過直線外一點畫已知直線的垂線的一般步驟如下.

①靠：將三角板的一條直角邊緊靠已知直線.

②移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經過直線外的已知點.

③畫：沿經過已知點的直角邊畫一條直線.

畫一條線段或一條射線的垂線，就是畫線段或射線所在直線的垂線.

3. 垂線的性質

（1）互相垂直的兩條直線所成的4個角都是直角.

（2）在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.可以簡單說成垂線段最短.

4. 點到直線的距離

從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.如圖4，垂線段PO的長度就是點P到直線l的距離，其余各線段PA、PB等的長度都不是點P到直線l的距離.

必須注意，點到直線的距離是指垂線段的長度，是一個數量，因此下列說法都是錯誤的：（1）垂線段PO是點P到直線l的距離；（2）畫出點P到直線l的距離.

5. 注意區分兩組概念

（1）垂線與垂線段.它們都具有垂直于已知直線的特征，垂線是一條直線，其長度不能度量，而垂線段是一條線段，可以度量長度，它是垂線的一部分.

（2）兩點之間的距離與點到直線的距離.它們都是指線段的長度，是一個數量，都具有“最小”的特征.但前者是指連接兩點的線段的長度，后者是指點到直線的垂線段的長度（可以視為這一點與垂足之間的線段長）.

6. 例題精析

例1如圖5，∠1=53°，∠2=37°，則直線CD與直線CE的位置關系是.

[解析：]先求出∠DCE的大小，再根據角來判定直線的位置關系.

因為∠DCE=180°-∠1-∠2=180°-53°-37°=90°，所以CD⊥CE.

例2如圖6，在鐵路l旁有一個城鎮A，現在要建一個火車站，使城鎮A離火車站最近，請你在鐵路上選一點建火車站.

[解析：]要使點到直線的距離最小，可以考慮垂線段.

過A點向直線l作垂線，垂足為B，則B點即為建火車站的地方（如圖6）.

例3如圖7，在平面內，兩條直線l1、l2相交于O點.對于平面內任意一點M，若p、q分別是點M到直線l1、l2的距離，則稱（p，q）為點M的“距離坐標”．根據上述規定，圖7中“距離坐標”是（2，1）的點共有個．

[解析：]在平面內，兩條直線l1、l2相交于O點，則平面被直線l1、l2分成4部分，每個部分都有1個點到直線l1、l2的距離分別為p、q，因此這樣的點有4個.根據題中的規定，“距離坐標”是（2，1）的點共有4個.應填4.

【責任編輯：潘彥坤】