用坐標系法探文壇“韓信分油”

韓信是我國古代著名的軍事家，他追隨漢高祖劉邦打敗項羽建立了漢朝.由于韓信足智多謀，所以后人編寫了不少與韓信有關的趣味數學題.我們這里要講的是“韓信分油”的故事.

一天，韓信訪友歸來，經過一個集市，見那里人來人往很是熱鬧.突然，他看見一個油攤前賣油的老者與買油的人正在爭執，經打聽才知道原來買油的人要買5斤油，而賣油的老者說5斤油不賣，讓買油的人要么買3斤油，要么買7斤油.

韓信覺得這個老者很奇怪，后來發現原來老者賣油的油桶里有10斤油，而他只有能裝3斤油的葫蘆和能裝7斤油的瓢.知道了這些以后，韓信上前對他們說：“你們誰也不要再爭執了，我有辦法讓你們都滿意.”韓信是怎么做的呢？

他先用葫蘆連裝兩次油（兩次都裝滿）倒入瓢中，再用葫蘆第三次裝滿油往瓢中倒，當瓢里油滿后，葫蘆中剩下2斤油.然后他將瓢中的油（7斤）全部倒回賣油的油桶中，再將葫蘆中剩下的2斤油倒入瓢中，最后再用葫蘆從油桶中裝滿油（3斤）倒入瓢中，這時瓢中恰好有5斤油.

這就是“韓信分油”的經典故事.

我們將韓信分油的過程列成表1.

畫出平面直角坐標系，用x軸表示葫蘆中油的量，用y軸表示瓢中油的量.將葫蘆和瓢中油的量用坐標表示出來（如圖1）.

圖1中的有序數對表示葫蘆和瓢中油的量，而折線則表示倒油的過程.

觀察圖1，我們會發現下面一些特點.

1. 水平方向的線表示桶中的油向葫蘆中轉移.如圖1中A8#10141;A9表示用葫蘆從桶中取出3斤油.

2. 豎直方向的線表示瓢中的油向桶中倒.如圖1中A6#10141;A7表示將瓢中的7斤油倒入桶中.

3. 傾斜的線（按某個正方形的對角線畫）表示葫蘆中的油向瓢中倒.如圖1中A3#10141;A4表示將葫蘆中的3斤油倒入瓢中.

這樣，就可以得到“分油問題”的解決方案了，下面具體說明.

1. 每個小方格的邊長表示1斤油，x軸表示葫蘆中油的量，y軸表示瓢中油的量，根據葫蘆、瓢中所裝油的量，畫出一個由小方格組成的圖形.

2. 定出起點與終點.因為葫蘆、瓢開始時均是空的，所以起點應是兩坐標軸的交點.根據題目要求，把10斤油分成兩個5斤，而葫蘆中盛不下5斤油，所以終點應是y軸上的A10（0，5）.

3. 斜線走向可以是↖（從右下到左上），不能是↗（從左下到右上）或↙（從右上到左下），否則就會出現葫蘆、瓢中的油同時增加或同時減少的情況.斜線必須是某個正方形的對角線，因為斜線表示葫蘆中的油向瓢中倒，葫蘆中減少的油量正好是瓢中增加的油量.

4. 根據上述方法，就可以從起點一直畫到終點，得到倒油的順序及每次倒油的量.

我們可以把這種方法叫做坐標系法.

【責任編輯：潘彥坤】