平行線問題解讀

朱亞邦江蘇省數學特級教師，全國優秀教師，江蘇省數學學會會員，中華全國中學教育研究會常委，曾兼任多家省級刊物通訊員、特約編委，被各級各類刊物錄用文章逾百篇，曾獲江蘇省“紅杉樹”園丁金質獎.

平行線這部分內容很重要，它是我們以后學習幾何圖形的基礎，因此我們要認真學好平行線的有關內容.為幫助同學們學好這部分內容，特歸納如下幾種題型供同學們學習時參考.

一、基礎題

1. 平行線判定題

例1如圖1，已知∠1與∠2互補，∠2與∠3互補.直線l1與直線l2平行嗎？為什么？

[解析：]因為∠1與∠2互補，∠2與∠3互補，所以∠1=∠3，故l1∥l2.

2. 平行線性質題

例2如圖2，已知AD∥EF∥BC，EG∥AC，則已標出的角中有幾個角與∠1相等？

[解析：]因為EF∥BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠5=∠6.又由EG∥AC，可知∠1=∠5，故∠1=∠6.而由AD∥BC，可得∠1=∠4.共有5個角與∠1相等.

3. 平行線的判定與性質綜合題

例3如圖3，已知∠AED=∠C，∠B=∠3.∠1與∠2之間存在什么關系？為什么？

[解析：]因為∠AED=∠C，所以DE∥BC.可得∠B=∠ADE.

由∠B=∠3，可知∠ADE=∠3，所以AB∥EF.從而有∠2=∠4.

又因為∠1與∠4互補，所以∠1與∠2互補.

二、開放題

1. 條件開放題

例4如圖4，CD平分∠ACB，DE∥AC.請補充一個條件，使∠1=∠2=∠3=∠4.

[解析：]觀察圖4，∠1、∠2、∠3、∠4與直線CD或直線EF有關，所以可以考慮在這兩條直線上尋找解題的突破口.

兩條直線比較特殊的位置關系有平行和垂直，這里只有這兩條直線平行能得到∠1=∠2=∠3=∠4.因此可補充條件EF∥CD，或補充一個能使這兩條直線平行的條件也可，如∠1與∠CEF互補.

2. 結論開放題

例5如圖5，AB∥CD，EG、EH、FG、FH分別是∠BEF、∠AEF、∠EFD、∠EFC的平分線.請在圖中找出兩對互相垂直的線段，并說明理由.

[解析：]EG⊥EH.因為EG、EH分別平分∠BEF和∠AEF，所以∠1=∠BEF，∠2=∠AEF.故∠GEH=∠1+∠2=（∠BEF+∠AEF）=90°，即EG⊥EH.

EG⊥FG.因為EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，所以∠1=∠BEF，∠3=∠EFD.又因為AB∥CD，所以∠BEF+∠EFD=180°.故∠1+∠3=（∠BEF+∠EFD）=90°，即EG⊥FG.

三、探究題

1. 條件探究題

例6如圖6，∠1=∠2，請你寫出一個能推出CE平分∠ACD的條件.

[解析：]可從結論來考慮，要想得出CE平分∠ACD，從角的方面考慮應有∠2=∠3，從而可以找能使∠2=∠3成立的條件.如CE∥AB或∠2=∠4等均可.

2. 結論探究題

例7如圖7，AB∥PQ∥CD，∠1=55°，∠EPF=100°.∠1與∠2相等嗎？為什么？

[解析：]因為AB∥PQ，所以∠3=∠1=55°.

因為∠EPF=100°，所以∠4=100°-55°=45°.

又由PQ∥CD，可得∠2=∠4=45°.

因∠1=55°，故∠1≠∠2.

3. 規律探究題

例8如圖8，AB∥CD，我們只要過E點作EF∥AB，即可推出∠AEC=∠A+∠C.觀察圖9，∠2+∠4+∠6+…與∠1+∠3+∠5+∠7+…+∠C存在怎樣的關系？

[解析：]依據圖8構造出圖10，則由圖8的結論可知∠E=∠A+∠EGH，∠F=∠HGF+∠C，故∠E+∠F=∠A+∠EGF+∠C.

由圖8和我們所構造的圖10的結論可以推出，在圖9中有∠2+∠4+∠6+…=∠1+∠3+∠5+∠7+…∠C.

【責任編輯：潘彥坤】