求解三角形數學思想方法大盤點

數學思想方法是數學應用的重要組成部分，是對數學概念和原理的本質認識.在“三角形”這一章中，就蘊涵著許多重要的數學思想．現例析如下，供同學們參考．

1． 分類討論思想

分類討論思想就是將要研究的數學對象按照一定的標準劃分為若干類不同的情形，然后再逐一進行研究的一種數學思想．用分類討論思想解題時，我們往往將問題劃分為若干類或若干個局部問題來解決．對問題進行分類討論時，必須做到不重不漏，必須按同一標準進行分類．

例1已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1 ∶ 4，則這個等腰三角形頂角的度數為（）．

A. 20° B. 120°

C. 20°或120° D. 36°

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]題中只給出了等腰三角形兩個內角的度數之比，至于哪個是頂角、哪個是底角卻沒有明確說明，故應分兩種情況進行討論．

解：（1）當頂角與一個底角的度數之比為1 ∶ 4時，三個內角的度數之比為1 ∶ 4 ∶ 4，這個等腰三角形的頂角為180° × =20°.

（2）當一個底角與頂角的度數之比為1 ∶ 4時，三個內角的度數之比為4 ∶ 1 ∶ 1，這個等腰三角形的頂角為180° × =120°．

故選C．

2． 整體思想

研究某些數學問題時，往往不是從問題的某個組成部分著手，而是將要解決的問題中的幾個或全部元素看成一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構，進行整體處理后，達到解決問題的目的，這就是數學中的整體思想．

例2如圖1所示，∠1+∠2+∠3+∠4=．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]在本題中，若直接求出每個角的度數再求和顯然是不可能的．通過仔細觀察我們發(fā)現，可以利用三角形的內角和分別求出∠1+∠2和∠3+∠4，則問題迎刃而解．

解：由三角形的內角和可知，∠1+∠2=180°-30°=150°，∠3+∠4=180°-30°=150°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=150°+150°=300°．

3. 方程思想

方程是一種解決數學問題的重要工具，很多數學問題可以通過構建方程解答，這就是數學中的方程思想．在有關角度的計算中，如果依據題設和相關圖形的性質列方程求解，往往可以使計算變得非常簡便．

例3如果將一個多邊形的所有內角從小到大排列起來，則它們恰好依次增加相同的度數，其中最小的角為100°，最大的角為140°.這個多邊形的邊數為多少？

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]最小的角為100°，最大的角為140°，并且這些角依次增加相同的度數，則該多邊形的內角的平均度數為（100°+140°）÷2=120°．可設這個多邊形的邊數為x，構造方程解之．

解：由題意可知，該多邊形內角的平均度數為120°．

設該多邊形的邊數為x，則有120x=（x-2）×180.

解得x=6．

故此多邊形為六邊形．