從一道中考題談起

題目（2007年聊城市中考題）有下列四組正多邊形地磚：①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形；④正八邊形與正方形．將每組中的兩種多邊形地磚結(jié)合，能進(jìn)行鑲嵌的是（）．

A． ①③④B． ②③④

C． ①②③D． ①②④

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數(shù)學(xué)人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]平面圖形的鑲嵌是多邊形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用價(jià)值的體現(xiàn)，也是開發(fā)、培養(yǎng)我們創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要渠道.本題涉及鑲嵌的原理、多邊形的角、整數(shù)的性質(zhì)等問題．

解：用兩種正多邊形地磚進(jìn)行鑲嵌，符合條件的組合有多種，如正三角形與正六邊形、正三角形與正方形、正方形與正八邊形等.應(yīng)選D.

下面以正三角形與正六邊形組合鑲嵌為例進(jìn)行探究.

設(shè)在一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角，有n個(gè)正六邊形的角，那么m、n應(yīng)是方程m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6的正整數(shù)解.易得m=2，n=2；m=4，n=1.

當(dāng)m=2，n=2時(shí)，其鑲嵌圖案如圖1.請同學(xué)們自己畫出當(dāng)m=4，n=1時(shí)的圖案．

對于正方形與正六邊形，假設(shè)它們能夠鑲嵌，設(shè)在一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正方形的角，有n個(gè)正六邊形的角，那么m、n應(yīng)是方程m·90°+n·120°=360°，即3m+4n=12的正整數(shù)解.易知該方程沒有正整數(shù)解，所以正方形與正六邊形不能組合鑲嵌.

我們還可以進(jìn)行下面的探究.

探究1：只用一種正多邊形鑲嵌的情形.

假設(shè)正多邊形有n條邊，鑲嵌圖案中一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍正多邊形內(nèi)角的個(gè)數(shù)為m，那么正多邊形一個(gè)內(nèi)角的大小為．根據(jù)鑲嵌圖案的特點(diǎn)——在一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍各多邊形的內(nèi)角的和是360°，得m·=360°.化簡，得m（n-2）=2n.其正整數(shù)解共有三組：m=6，n=3；m=4，n=4；m=3，n=6.

也就是說，若僅用一種正多邊形鑲嵌，符合條件的只有正三角形、正方形和正六邊形.其相應(yīng)的鑲嵌圖案如圖 2所示．

探究2：用三種以上的正多邊形鑲嵌，且一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍每種正多邊形只有一個(gè)的情形.

我們先來研究一下用三種不同的正多邊形鑲嵌.分別設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n1、n2、n3，根據(jù)鑲嵌的特點(diǎn)，有++=360°．

整理，得++=．

滿足此方程的三種正多邊形的邊數(shù)組合共有6組：①3，7，42；②3，8，24；③3，9，18；④3，10，15；⑤4，5，20；⑥4，6，12．

圖3為正方形、正六邊形、正十二邊形組成的鑲嵌圖案.

用四種、五種、六種不同的正多邊形鑲嵌，有如下關(guān)系：+++…+=（m=4，5，6），nm表示正多邊形的邊數(shù)．這個(gè)關(guān)系式是怎么得來的？它能適用于更多種不同的正多邊形鑲嵌的情形嗎？請你自己探索.