從一道中考題談起

題目（2007年聊城市中考題）有下列四組正多邊形地磚：①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形；④正八邊形與正方形．將每組中的兩種多邊形地磚結合，能進行鑲嵌的是（）．

A． ①③④B． ②③④

C． ①②③D． ①②④

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]平面圖形的鑲嵌是多邊形在現實生活中應用價值的體現，也是開發、培養我們創造性思維的一個重要渠道.本題涉及鑲嵌的原理、多邊形的角、整數的性質等問題．

解：用兩種正多邊形地磚進行鑲嵌，符合條件的組合有多種，如正三角形與正六邊形、正三角形與正方形、正方形與正八邊形等.應選D.

下面以正三角形與正六邊形組合鑲嵌為例進行探究.

設在一個重合的頂點周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角，那么m、n應是方程m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6的正整數解.易得m=2，n=2；m=4，n=1.

當m=2，n=2時，其鑲嵌圖案如圖1.請同學們自己畫出當m=4，n=1時的圖案．

對于正方形與正六邊形，假設它們能夠鑲嵌，設在一個重合的頂點周圍有m個正方形的角，有n個正六邊形的角，那么m、n應是方程m·90°+n·120°=360°，即3m+4n=12的正整數解.易知該方程沒有正整數解，所以正方形與正六邊形不能組合鑲嵌.

我們還可以進行下面的探究.

探究1：只用一種正多邊形鑲嵌的情形.

假設正多邊形有n條邊，鑲嵌圖案中一個重合的頂點周圍正多邊形內角的個數為m，那么正多邊形一個內角的大小為．根據鑲嵌圖案的特點——在一個重合的頂點周圍各多邊形的內角的和是360°，得m·=360°.化簡，得m（n-2）=2n.其正整數解共有三組：m=6，n=3；m=4，n=4；m=3，n=6.

也就是說，若僅用一種……