多邊形學(xué)習(xí)要點(diǎn)

一、主要學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 認(rèn)識多邊形的內(nèi)角和外角.

學(xué)習(xí)“多邊形及其內(nèi)角和”這節(jié)內(nèi)容，首先要知道三角形是最簡單的多邊形.可根據(jù)圖1所示的結(jié)構(gòu)圖領(lǐng)會三角形的角與多邊形的角之間的聯(lián)系.

2. 體會“化未知為已知”的數(shù)學(xué)思想，掌握多邊形的內(nèi)角和公式.

三角形的內(nèi)角和是180°，那么求四邊形的內(nèi)角和問題（未知），是否可以使用“化未知為已知”的思想，將求四邊形的內(nèi)角和問題（未知）轉(zhuǎn)化為計(jì)算三角形的內(nèi)角和問題（已知）呢？下面給出了將四邊形劃分為三角形的幾種方法，如圖5、圖6、圖7，你能借助這些圖形計(jì)算出四邊形的內(nèi)角和嗎？

如圖5，過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，可以作出對角線AC，將四邊形ABCD劃分為2個三角形：△ABC、△ADC.四邊形ABCD的內(nèi)角和為

∠BAD+∠B+∠BCD+∠D

=（∠BAC+∠DAC） +∠B+（∠BCA+∠DCA）+∠D

=（∠BAC+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠DCA+∠D）

=180°+180°=360°.

類似地，我們可以過五邊形的一個頂點(diǎn)引出2條對角線，將五邊形劃分為3個三角形（如圖8）；過六邊形的一個頂點(diǎn)引出3條對角線，將六邊形劃分為4個三角形（如圖9）……由此可以得出五邊形、六邊形……的內(nèi)角和（如表1）.

表1

在六邊形ABCDEF的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，將這些外角的和稱為六邊形的外角和.如圖10中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6. 每個外角與其相鄰內(nèi)角的和都為180°，于是有6×180°-（6-2）×180°=360°.故六邊形的外角和等于360°.

同理，對于n邊形，可以得到n邊形的外角和：n×180°-（n-2）×180°=360°.

二、典型例題與學(xué)習(xí)建議

例1如果一個多邊形的每個內(nèi)角都是144°，則這個多邊形是邊形.

解法1：（從內(nèi)角的角度思考）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°，可得方程（n-2）×180=144n. 解這個方程，得n=10.

所以這個多邊形是十邊形.

解法2：（從外角的角度思