巧填加減號

雙休日，聰聰和明明做完了老師布置的作業，他倆又被一道有趣的數學游戲題迷住了……

題目是這樣的：在1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字之間任意添上“+”、“-”，使這9個數字既不重復也不遺漏，經過運算后結果為23，有幾種方法？

聰聰思考良久，很快設計出下面一種方案：

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23.

明明也不遜色，馬上寫出：

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23.

“可是這樣找下去既費神，又勞心，什么時候才能把所有的方法給找全呢？”聰聰苦惱地說道.

“是啊，要是能找到一種不用窮舉的方法來解決這道難題就好了！”明明說.

“嗯，那咱們就得另尋他路，試著從別的方面尋找突破口！”聰聰若有所思地回答道，“你看，在剛才我們倆所寫的運算式中，雖然方法不一樣，但所有正數的代數和都等于34，所有負數的代數和都等于-11，這樣一來，相加之后的和就等于23了！”

“噢，是的！”明明興奮地說道，“你的思路啟發了我，可以設在填上適當的‘+’、‘-’后，所有正數的代數和為a，所有負數的代數和為b，故有等式a+b=23.”

“嗯，再來看看這9個數字的絕對值的和吧，容易發現它們的絕對值的和等于45.也就是說，|a|+|b|=45，根據絕對值的意義，可以得到a-b=45.”聰聰補充道.

“由a+b=23，可得a=23-b，在a-b=45中，可以將a換成23-b，就得到了23-b-b=45，從而有b= -11.接下來的問題就是如何在這9個數字中適當地填上‘+’、‘-’，使負數的代數和為-11了.”明明像發現了新大陸一樣高興地說道，“不難發現-11=-2-9=-3-8= -4-7=-5-6=-1-2-8= - 1 - 2 -3 - 5 =-1- 3-7=-1- 4-6= -2-3-6=-2-4-5這10種算法……”

“那這樣就有10種填法：

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23；

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23；

1+2+3-4+5+6-7+8+9=23；

1+2+3+4-5-6+7+8+9=23；

-1-2+3+4+5+6+7-8+9=23；

-1-2-3+4-5+6+7+8+9=23；

-1+2-3+4+5+6-7+8+9=23；

-1+2+3-4+5- 6+7+8+9=23；

1-2-3+4+5-6+7+8+9=23；

1-2+3-4-5+6+7+8+9=23.”

聰聰搶過話頭，一口氣把所有的方法給羅列出來.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文