開普勒定律與“嫦娥”之旅

鏈接：前面我們講了很多歷史上對于太陽系的探索經歷，現在我們回到現實，看看正在進行中的嫦娥之旅。我們將看到，即便在這樣一個復雜的航天工程中，我們在中學物理中學到的簡單規律依然可以非常有效地幫助我們理解數據，看似樸素的物理定律，其實有著最美妙的體現。

北京時間2007年10月24日18時05分，中國首顆探月衛星“嫦娥一號”在長征三號甲運載火箭的推動下飛速升起，開始了令世人矚目的中國航天史上首次奔月之旅。

毫無疑問，“嫦娥一號”第一階段的看點是它的飛行過程。這一過程利用一條經過精密設計的軌道，讓“嫦娥一號”被月球捕獲，成為繞月衛星。要當月球的俘虜可不是一件容易的事，因為月球的引力較弱，抓俘虜的能力有限，而且它不僅遠在38萬多公里之外，還以每秒約1公里的速度運動著。 “嫦娥一號”飛臨月球的時機和速度只要稍有偏差，就有可能當不成俘虜，或因熱情過度而在與月球的親密接觸中化為塵埃。為了讓“嫦娥一號”能順利地當上俘虜，同時也兼顧運載火箭的能力，“嫦娥工程”的設計者們為“嫦娥一號”安排了一次遠地點、三 次近地點及三次近月點共計七次變軌。所有的變軌都完成得非常漂亮，“嫦娥一號”于北京時間11月7日8時24分幾乎完美無缺地進入了環月工作軌道。

在這篇短文中，我們將用大家熟悉的，已有380多年歷史的開普勒第三定律——它表明在一個中心天體的引力場中所有橢圓軌道的周期平方正比于長軸長度的三次方——來估算一下“嫦娥一號”各次近地點變軌后的軌道參數，并與實際數據進行對比。

根據報道，“嫦娥一號”的第一次近地點變軌是在北京時間10月26日17時33分進行的，當時“嫦娥一號”的飛行高度約為600公里。變軌完成后它進入了近地點高度為600公里、周期為24小時的橢圓停泊軌道。我們來估算一下這一軌道的遠地點高度。我們知道，開普勒第三定律只關心軌道周期和長軸長度， 而與軌道橢率、衛星質量等參數完全無關。這表明所有周期為24小時的環地球軌道的長軸長度都相同。在這些軌道中，有一個是大家非常熟悉的，那就是地球同步軌道，它是一個圓軌道，其高度約為35800公里。利用這一軌道，我們立刻可以知道“嫦娥一號”的橢圓停泊軌道的近地點高度與遠地點高度之和為35800×2 =71600公里，從而遠地點高度約為71600-600=71000公里(實際數據為71600公里，與估算相差0.8%)。

“嫦娥一號”在24小時軌道上運行三周后經由第二次近地點變軌進入了一個周期為48小時的大橢圓軌道。這個新軌道的遠地點高度又是多少呢？我們也來計算一下。由于新軌道的周期是舊軌道的2倍，因此周期的平方是舊軌道的4倍。按照開普勒第三定律，新軌道長軸長度的三次方也應該是舊軌道的4倍，從而長軸長度本身應為舊軌道的41/3≈1.587倍。由于舊軌道的長軸長度是前面提到的近地點和遠地點高度之和(71600公里)加上地球的直徑(約為12750公里)，即84350公里，因此新軌道的長軸長度為84350×1.587≈133860公里。扣除地球直徑后，我們就可以得到新軌道的近地點和遠地點高度之和約為133860-12750=121110公里。由于近地點的高度在近地點變軌中基本不變，仍為 600公里，因此新軌道的遠地點高度約為121110-600=120510公里(實際數據為119800公里，與估算相差0.6%)，這一遠地點高度創下了中國航天史上的新紀錄 ——當然這或許也是最短命的紀錄，因為它立刻就被下一次變軌所打破。

沿48小時軌道運行一周后，“嫦娥一號”于北京時間10月31日17時15分開始了第三次近地點變軌。經過這次變軌，“嫦娥一號”終于進入了地月轉移軌道，如它動人的神話中的先輩那樣，往月球的懷抱撲去。類似地，我們也可以對“嫦娥一號”最后一次近地點變軌及三次近月點變軌(由于都是減速過程， 因此也叫做近月點制動)后的軌道參數進行估算。為避免雷同，本文就不細述了，感興趣的讀者可以自己試試，并與實際數據進行對比。