§３．３ 一次函數

第1課時一次函數知識點解讀

一、一次函數、正比例函數的概念

如果y＝kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數.

如果y＝kx（k是常數，k≠0），那么y叫做x的正比例函數.

由此可見，一次函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）中，當b＝0時，就成了正比例函數.所以正比例函數是一次函數的特例.

注意：1. 一次函數中自變量x的指數必須是1，且一次項系數k≠0.

2. 正比例函數一定是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數.

二、一次函數、正比例函數的圖象、性質

2. 一次函數的性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.

3. 正比例函數y＝kx（k≠0）的圖象是過原點（0，0）的一條直線.

4. 正比例函數的性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大，圖象在第一、三象限內；當k＜0時，y隨x的增大而減小，圖象在第二、四象限內.

注意：（1） 一次函數與正比例函數的共同性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大，當k＜0時，y隨x的增大而減小.

（2） k的符號決定直線的傾斜方向，k的絕對值決定傾斜的程度，｜k｜越大，直線越靠近y軸.

（3） b決定直線與y軸的交點（0，b），也就是決定了直線的位置.

（4） 對于直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2（k1，k2，b1，b2為常數，且k1·k2≠0），當k1=k2，b1≠b2時，兩直線平行；當k1≠k2時，兩直線相交于一點.

三、一次函數和正比例函數關系式的確定

待定系數法確定：根據題目中的條件，先設函數為y＝kx+b或y＝kx.由于一次函數y＝kx+b中有兩個未知字母（待定系數）k，b，所以需要列出兩個關于k，b的方程，將k，b的值求出，再代入關系式即可.如果是正比例函數y＝kx，則只需列一個關于k的方程，求出k的值.

第2課時一次函數與方程（組）及不等式的關系及應用

一、一次函數與方程組、不等式的關系

1. 一次函數與一元一次方程

函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）中，當函數值等于0時，相應的自變量x的值就是一元一次方程kx+b=0（k，b是常數，k≠0）的解，所對應的坐標是直線y＝kx+b與x軸的交點坐標.

2. 一次函數與一元一次不等式

直線y＝kx+b在x軸的上方，也就是使函數的值大于０的x的值是不等式kx+b＞0（k≠0）的解；在x軸的下方，也就是使函數的值小于０的x的值是不等式kx+b<0（k≠0）的解.

3 .一次函數與二元一次方程

（1） 由于任何一個二元一次方程都可以轉化為y＝kx+b的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，于是也對應一條直線.

（2） 以二元一次方程的解為坐標的點，都在相應的一次函數的圖象上；一次函數圖象上任意點的坐標都適合與之相應的二元一次方程.

4. 一次函數與二元一次方程組

同一直角坐標系中，兩個一次函數圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解；反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點，一定是相應的兩個一次函數圖象的交點.

注意：每個一次函數問題都可以轉化為方程或方程組問題，求函數圖象與坐標軸的交點或與另一個函數圖象的交點，都是解方程或解方程組問題，求x或y的取值范圍就可以轉化為解不等式或不等式組問題.

二、一次函數與方程（組）及不等式相結合的實際應用題

一次函數與方程（組）及不等式相結合能解決許多實際應用問題，中考中通常以綜合題的形式出現.解這類綜合題時，一定要審清題意，找出等量關系或不等關系，列出方程、不等式或確定函數的關系式，進而解決問題.

點評：容易想到，由已知A，B兩點的坐標求出一次函數的解析式，然后再解一元一次不等式，這是解此類題的常規方法.但是在這道題中，我們應該注意從圖象中捕捉信息，利用數形結合思想解題.

例 2 已知一次函數y＝3x+b和y＝ax-3的圖象交于點P（-2，-5），求不等式ax＋b＞0的解集.

解析：求不等式ax＋b＞0的解集，就必須知道a，b的值.已知兩個函數圖象的交點坐標，分別將x=-2，y=-5代入兩個解析式，即可求出a，b的值.

將x=-2，y=-5分別代入y＝3x＋b和y＝ax-3中，可得b=1，a=1.所以不等式為x+1>0，解得x>-1.

第3課時一次函數實際的應用常見題型

1. 一次函數的圖象信息題

在一次函數應用題中，把反映數量關系的圖象作為已知條件，進行分析解答的中考試題不斷增多， 成為中考命題的又一新趨勢.這類題考查從圖象中獲取信息的能力，考查綜合運用一次函數的性質與圖象解決實際問題的能力.

2. 一次函數的最值問題

在一次函數應用題中，關于最值問題一般有兩種類型.

（1） 求分配方案中的最值.可以把幾種方案的相關數據都求出來，比較最值即可.

（2） 列出函數關系式，利用一次函數的增減性確定最值.要特別注意準確求出自變量的取值范圍.

3. 一次函數的方案設計問題

在日常生活中，我們經常遇到一些問題需要找出全部可能方案，經過對比，然后作出決策.這些方案的設計當然少不了要建立一次函數模型，然后確定自變量可取的特殊值（一般為取值范圍內的正整數），進而求出幾種方案.

練習題

1. 某縣在實施“村村通”工程中，決定在A，B兩村之間修筑一條公路，甲、乙兩個工程隊分別從A，B兩村同時相向開始修筑.施工期間，乙隊因另有任務提前離開，余下的任務由甲隊單獨完成，直到道路修通.圖5是甲、乙兩個工程隊所修道路的長度y（m）與修筑時間x（天）之間的函數圖象，請根據圖象所提供的信息，求出該公路的總長度.

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