四邊形問題歸類分析

四邊形問題雖然概念很多，但中考中純考查概念的問題并不多，大多是通過設置操作型、運動變化型、應用型、探究型、開放型等題目多方面考查學生的數學學習能力.本文以2008年有關四邊形的中考題進行歸納.

一、動手操作問題

動手實踐是學習數學的三種重要方式之一.近年來各省、市中考都在實驗操作上增強了考查力度.

例1 （濱州市）將一正方形紙片按圖1的順序折疊，將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形.

將紙片展開，得到的圖形是（）.

解析： 按圖中的標示，將虛線部分向實線部分折疊（或實線部分向虛線部分折疊），不要隨便將紙片翻轉，通過實驗操作可知應選C.

點評：如果不規范操作，這道題可能剪出A或B的圖案，同學們可以試試.

二、折疊問題

解折疊問題的關鍵是必須掌握折疊后的圖形與原圖形關于折痕所在直線對稱，其對應線段相等、對應角相等.

例2 （重慶市）如圖2，在正方形紙片ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合.展開后，折痕DE分別交AB，AC于點E，G.連接GF.下列結論：① ∠AGD=112.5°；② tan∠AED=2；③ S△AGD = S△OGD；④ 四邊形AEFG是菱形；⑤ BE=2OG.其中正確結論的序號是 .

解析： ① 由折疊的對稱性，可知∠ADE=∠FDE.由四邊形ABCD為正方形，可知∠ADF＝∠CAD=45°.故∠ADG=22.5°，∠AGD=112.5°.

② 由折疊的性質，可知AE=EF，∠DAE＝∠EFD＝∠AOD＝90°.所以EF∥AC，得∠FEB=∠CAB=45°，BE＝ EF= AE.

∴AD=AB=（1+ ）AE，則tan∠AED=1+ ≠2.

③ 顯然△AGD≌△FGD.所以S△DOG≠S△AGD.

④ 由①通過計算可得∠FGO=∠GAE=45°，所以GF∥AE.由②知EF∥AC，又AE=EF，所以四邊形AEFG是菱形.

⑤ 由GF= GO，EB= EF，GF=EF，可知BE=2OG.

故正確結論的序號是①④⑤.

三、動態幾何問題

例3 （荊門市）如圖3，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M，N分別是邊AB，BC的中點，則PM+PN的最小值是 ．

解析： 設BD交AC于點O.取邊DC的中點Q，連接PQ，顯然點Q與點N關于直線AC對稱.連接QM，則PM+PN=PM+PQ>QM.當點P運動到點O時，PM+PN的值最小，此時PM+PN＝MQ，四邊形AMQD為平行四邊形，MQ＝AD.由AO＝4，DO=3，可得AD＝5，所以MQ＝5.所以PM+PN的最小值是5.

點評：通過某元素運動變化考查幾何圖形的性質，是四邊形問題中最常見的題型.涉及最多的是矩形、菱形、正方形和梯形.

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