三角函數值的計算六法

銳角三角函數是初中數學的重要內容，是解直角三角形的基礎.銳角三角函數值的計算對于初學者來說是一個難點．讓我們一起來總結有關的三角函數值的解題方法．

一、定義法

例1 三角形在正方形網格紙中的位置如圖1所示，則sinα的值是（）.

A. B. C. D.

解析： 由正方形網格可知，角α的對邊的長為3，鄰邊的長為4，要求sinα，只要根據勾股定理求出三角形的斜邊，再根據三角函數的定義計算即可．

設α的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則a=3，b=4，所以c= =5.所以sinα= = .選C．

評注: 解答這類問題最易發生的錯誤，是搞錯邊的比的關系.有時定義記準確了，實際計算時又犯糊涂.克服辦法

就是計算時每一步都要細心.

二、設k法

例2 已知∠A為銳角，sinA= ，求其他三角函數值．

解析： 根椐已知的一個銳角三角函數值，應用三角函數的定義，引入字母表示兩邊長，然后用勾股定理求出第三邊，最后用定義就可以求出其他銳角三角函數值．

設∠A為某直角三角形的銳角，其對邊a為5k，斜邊c為13k（k＞0），則∠A的鄰邊b為12k．

根據定義，得cosA= = = ，tanA= = = ，cotA= ．

評注: 將三邊用字母表示的步驟看似煩瑣，實際是避免錯誤的好方法.這類計算題思考難度并不大，主要是計算的準確性問題.

三、關系式法

例3 如果α是銳角且cosα= ，求sinα的值．

解析： 根據三角函數的意義，可得sin2α+cos2α=1.

所以sinα= = = ．

評注： 三個三角函數之間的關系：sin2α+cos2α=1，tanα= .根據這兩個關系式，知道三個三角函數中的任意一個的值，都可以求出其他兩個三角函數值.

四、等比轉化法

例4 如圖2，已知AB是半圓O的直徑，弦AD和BC相交于點P，AB=5，CD=3，求cos∠BPD.

解析： 要求cos∠BPD，首先構造直角三角形.連接BD.可知cos∠BPD= .PD，PB未知，可根據相似三角形對應邊成比例進行轉化.

顯然△CDP∽△ABP，則 = .

因為AB是半圓O的直徑，所以∠ADB=90°.

所以cos∠BPD= = = .

評注： 構造直角三角形，借助相似三角形對應邊成比例，將比例進行轉化，是解這類問題的基本思考路徑.

五、構造法

例5 求tan15°的值．

解析： 由于15°是30°的一半，故借助含30°角的直角三角形來構造含15°角的直角三角形，再由三角函數定義求sin15°的值.用此三角形可以求出15°，75°角的所有三角函數值．

如圖3，作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°.延長CB到D，使BD=BA，則∠D=15°.

設AC=k，則AB=2k，BC= k．

∴CD=（2+ ）k．

∴tanD= = = =2- .

∴tan15°=2- .

評注: 通過構造特定的直角三角形，將15°角的三角函數值問題轉化為30°角的三角函數值問題，這是一種重要的數學方法，有時題目中沒有直角三角形，我們還可以通過作垂線構造直角三角形來解決問題.

責任編輯/趙良河

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