四法五圖解三角形相似問題

對應角相等、對應邊成比例的三角形是相似三角形．相似三角形的本質特征是“形狀相同”但大小不一定相等．相似三角形對應邊的比，叫做相似比（或相似系數）．若△ABC與△A′B′C′的相似比是k１，△A′B′C′與△ABC的相似比為k2，則k１＝ ．相似三角形有一個重要的性質——傳遞性：如果△ABC∽△A１B１C１，△A１B１C１∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2．

判定兩個三角形相似常用的“四法”是：

（1） 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．（相似三角形判定的預備定理）

（2） 兩角對應相等的兩個三角形相似．

（3） 三邊對應成比例的兩個三角形相似．

（4） 兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．

“五圖”是指5個常見的三角形相似的基本圖形.

在圖1中，△ADE∽△ABC；在圖2中，△ABO∽△A′B′O；在圖3中，△ABC∽△AED；在圖4中，△ABC∽△ADB；在圖5中，△ABC∽△ACD∽△CBD.

例1 小明要做兩個形狀相同的三角形框架，其中一個框架三邊為30 cm，40 cm，50 cm，而另一個三角形框架現在只有一條60 cm的木條，小明應該再找兩根多長的木條呢？

解：設另兩根木條分別長x cm，y cm，x≤y.

若60 cm和30 cm木條為對應邊，則 = = .

解得x=80（cm），y=100（cm）.

若60 cm和40 cm木條為對應邊，則 = = .

解得x＝45（cm），y＝75（cm）．

若60 cm和50 cm木條為對應邊，則 = = .

解得x＝36（cm），y＝48（cm）．

注：解此題的關鍵是弄清60 cm的木條和已知框架三邊中的哪條邊是對應邊.有三種可能性，因此需分類討論.這道題重在體現分類討論的數學思想．

例２ 如圖6，△ABC中，D，E分別是AB，BC邊上的點，連接DE并延長，交AC的延長線于F，若BD∶DE＝AB∶AC．求證：△CEF是等腰三角形．

分析： 由已知AB∶AC＝BD∶DE，結合圖形容易看出，若過點D作DG∥AF，交BC于G，可構造多組三角形相似的基本圖形，則AB∶AC＝BD∶DG，所以DG＝DE，從而可證CF＝EF．

證明：過點D作DG∥AF，交BC于G.顯然△ABC∽△DBG.

所以 = ，

由 = ，可知DE=DG.

由DG∥CF，可得△CFE∽△GDE．

所以 = .

因此CF＝EF．即△CEF是等腰三角形．

例３ 圖7是一個直角三角形，∠B=90°.請設計三種不同的方法，將這個直角三角形分成四個小三角形，使得每個小三角形與原直角三角形都相似．（兩種分法中，只要有一條分割線段位置不同，就認為是兩種不同的分法）

分析： 一是要利用相似三角形的基本圖形；二是要利用相似三角形的傳遞性.

解：分法如圖8.圖8（1）中，D是AC邊的中點，DE⊥BC，DF⊥AB.圖8（2）中，BD⊥AC，DF∥AB，DE∥BC.圖8（3）中，BD⊥AC，DE⊥BC，EF⊥AC.

責任編輯/趙良河

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