和全等三角形有關的和差式的證明

作者簡介 鄭俊哲，中國數學奧林匹克一級教練，碩士，1995年畢業于山東曲阜師范大學，中學數學一級教師.所輔導的學生在全國初中數學競賽中多次獲得一等獎，本人也多次被評為“全國數學競賽優秀輔導員”.制作的多媒體課件多次在山東省課件評比中獲得一等獎.

全等三角形是證明線段相等、角相等的一個重要工具.隨著學習的深入，出現了證明一些線段的和（差）等于某條線段的題目，讓學生感到困難.這時，通過恰當添加輔助線，將線段的和差問題轉化為線段的相等問題，同時構造全等三角形，成為解決問題的主要手段.

一、與三角形、四邊形有關的線段和差問題

例1如圖1，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB.

求證：BC=AD+AC.

思路1：（截長）在BC上截取CE=CA，連接DE.如圖2.

易證△ACD≌△ECD（SAS）.

∴∠3=∠A=2∠B.

∵∠3=∠B+∠4，

∴∠B=∠4.

∴BE=DE=AD.

∴BC=BE+EC=AD+AC.

思路2：（補短）延長CA到E，使得EC=BC，連接DE.如圖3.

由條件推出△CED≌△CBD（SAS）.

與思路1相仿，由∠E=∠B，∠BAC=2∠B，得∠4=∠E.AE=AD.下略.

點評：對于線段之間的和差關系，常采用“截長”、“補短”等添加輔助線方法，構造全等三角形，從而轉化為兩線段間的相等關系.

例2如圖4，△ABC中，∠B=2∠C，AD垂直BC于D.

求證：CD=AB+BD.

思路：如圖5，在DC上截取DE=DB，連接AE.

易知△ABD≌△AED（SAS）.

∴AB=AE，∠2=∠B.

又∠B=2∠C，得∠1=∠C，AE=CE.

∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+DE=AB+BD.

點評：本解法是截長的方法.也可用補短的方法去證：延長DB到E，使BE=BA，連接AE.讀者不妨自己試試.

例3如圖6，等邊△ABC中，延長BA到D，延長BC到E.若DC=DE，求證：AD=AC+CE.

思路：如圖7，延長BC到F，使EF=BC，連接DF.因EF=BC=AC，故只要證CF=AD即可.

易證△DCB≌△DEF（SAS）.

∠F=∠B=60°.

故△DBF是等邊三角形.

∴BD=BF.

而BA=BC，故AD=CF=CE+EF=CE+AC.證畢.

點評：本題還可以作以下輔助線證明：作EM∥AC交BD于M.證明△ACD≌△MDE（AAS）.

例4如圖8，AE∥BC，AD、BD分別是∠EAB、∠CBA的平分線.過點D的直線EC交AE于點E，交BC于點C.求證：AE+BC=AB.

思路1：（截長）在AB上截取AF，使AF=AE，連接DF.如圖9.

易證△ADE≌△ADF（SAS）.

∴∠E=∠AFD.

∵AE∥BC，

∴∠E+∠C=180°.

又∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠C=∠BFD.

∴△BDF≌△BDC（AAS）.

∴BF=BC.AE+BC=AF+BF=AB.

思路2：（補短）如圖10，延長BC交AD的延長線于F.要證AE+BC=AB，只需要證明AB=BF和AE=CF.

由題設∠1=∠F=∠2，△ABF是等腰三角形.

∴AB=BF.

又BD是∠FBA的平分線，由等腰三角形“三線合一”知AD=FD.

∴△ADE≌△FDC（ASA）.AE=CF.

∴AE+BC=CF+BC=BF=AB.

二、運動型線段和差問題

例5如圖11（1），在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連接PA.分別過點B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分別為E、F.

（1）請探索BE、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數量關系，并說明理由.

（2）若點P在DC的延長線上（如圖11（2）），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？請說明理由.

（3）若點P在CD的延長線上（如圖11（3）），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？請說明理由.

簡解：（1）結論是：BE-DF=EF.

注意同角的余角相等，易證△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AF-AE=BE-DF.

（2）結論是：DF-BE=EF.

與（1）類似，易證△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AE-AF=DF-BE.

（3）結論是：DF+BE=EF.理由略，請讀者自行探究.

點評：本題是典型的運動型線段和差問題.在運動過程中，圖中某些線段保持相似或相同的數量關系.本題的證明中應用三角形全等的性質，“化解”了線段間的和差關系.一般來說，這類題目的證法基本相同或類似.但在個別情況下，線段間不保持原有的關系.

練習

1. 如圖12，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠1=∠2.求證：AC+CD=BC.

提示：在CB上截取CE=CD，連接DE.證明△ABD≌△EBD（AAS）.

2. 如圖13，△ABC中，AD為∠BAC的平分線.M為BC的中點，ME∥AD交BA的延長線于E，交AC于F.求證：CF=BE，AB+AC=2BE.

提示：延長EM到G，MG=FM，連接BG，證△BMG≌△CMF.

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖14（1）的位置時，求證：DE=AD+BE.

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖14（2）的位置時，求證：DE=AD-BE.

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖14（3）的位置時，試問：線段DE，AD，BE具有怎樣的關系？請加以證明.