三角形的邊與角

三角形三邊關系、三角形內角和定理及全等三角形的識別都是中考重點考查的內容，在中考中占有較大的比重，應引起高度重視．

一、三角形三邊關系的應用

例1△ABC中，三邊長為3，x，8，求x的取值范圍.若三角形周長為偶數，求周長的最大值.

分析：可以根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”來解．

解：因3，x，8是△ABC的三邊長，故8-3

因周長是偶數，3+8=11為奇數，故x只能取奇數.

而5

∴△ABC的周長的最大值為11+9=20.

∴x的取值范圍為5

點撥：在應用三角形三邊關系解題時，應注意是“任意兩邊”． 求周長的最大值有些技巧性，也可用比較“笨”的方法，把x從大到小依次代入，看是否讓周長成為偶數.

二 三角形內角和定理的應用

例2如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點P，試說明∠BPC與∠A之間的關系.

分析：∠BPC在△BPC中，與∠1和∠2的和為180°．而∠1、∠2和∠ABC、∠ACB又有明顯的關系，進而可以和∠A建立聯系．

解：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB.

又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠1+∠2=1/2（180°-∠A）.

∵∠BPC=180°-（∠1+∠2），

∴∠BPC=90°+1/2∠A.

點撥：同學們可研究同類的問題“三角形一個內角的平分線與一個外角平分線的夾角與第三個內角的關系”，“兩個同側外角的平分線的夾角與第三個內角的關系”，如圖2、圖3．

三 全等三角形的識別

例3如圖4，四邊形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD.若∠B+∠D=180°，求證：CD=CB.

分析：要證CD=CB，可設法把CD、CB放在兩個全等三角形中.又因為AC是∠BAD的平分線，因此可以以AC為橋梁構造兩個全等三角形．

證明：作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，如圖5，則△ACE≌△ACF（AAS），CE=CF.

∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，

∴∠CDE=∠B.

∴△CDE≌△CBF（AAS）.

∴CD=CB.

點撥：題中有角平分線與其他直線的交點時，經常過交點作角兩邊的垂線.

四 綜合應用

例4如圖6，在△ABC中，AB=BC=CA.在△ABC的頂點A、C處各有一只小螞蟻，它們同時出發，以相同速度由A向B和由C向A爬行.經過t s后，它們分別爬行到了D、E處.設CD與BE的交點為F.

（1）證明△ACD≌△CBE.

（2）在小螞蟻爬行過程中（不考慮起點、終點處），CD與BE所成的∠BFC的大小有無變化？請說明理由.

分析：兩只小螞蟻同時出發以相同速度運動，所以AD=CE.又因為AC=CB，∠A=∠ACB，所以△ACD與△CBE全等，進而得角之間的關系，可知∠BFC的大小不變．

解：（1）略．

（2）∵△ACD≌△CBE（已證），

∴∠BFC=180°-∠EBC-∠BCD=180°-∠ACD-∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°.

∴∠BFC的大小不變.

點撥：同學們可探究一個類似的問題：如圖7，在正方形ABCD中，兩只螞蟻同時分別從A、B出發，向B、C運動，速度一樣.經過t s后，它們分別爬到了P、Q兩點.試問：PC與QD所成的角∠QOC的大小有無變化？為什么？