三角形全等的常見模式

三角形全等是圖形全等的基礎，也是初中數學學習的重點之一．為了幫助同學們學好三角形全等，筆者總結出三角形全等的六種常見模式．

一、“公共角”模式

公共角是兩個圖形中都含有的角，為全等提供了一個自然條件．在判斷全等時，可以考慮與角有關的判定方法．

例1如圖1，AB=AC，AD=AE，請說出∠B=∠C的理由．

解析：圖中的∠A是公共角，再加上AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE（SAS）.全等三角形的對應角相等，所以∠B=∠C.

二、“對頂角”模式

“對頂角相等”為判斷三角形全等提供了一個自然條件．這時，可以考慮與角有關的判定方法．

例2如圖2，OA=OB，OC=OD.試問：AC∥DB嗎？

解析：∠AOC和∠BOD是對頂角，又因為OA=OB，OC=OD，所以△AOC≌△BOD（SAS），所以∠C=∠D.內錯角相等，兩直線平行，因此，AC∥DB.

三、“公共邊”模式

公共邊相等是兩個三角形全等的一個自然條件．

例3如圖3，AC=AD，BC=BD.AB是∠CAD的平分線嗎？

解析：由于AC=AD，BC=BD，考慮到AB是公共邊，所以△ABC≌△ABD（SSS），所以∠CAB=∠DAB，AB平分∠CAD.

四、“角平分線”模式

角平分線提供了兩個角相等，同時，角平分線又可以成為公共邊，因此有角平分線的問題應考慮SAS或AAS或ASA的判定方法．

例4如圖4，OA平分∠BOC，并且OB=OC，請指出AB=AC的理由．

解析：因為OA平分∠BOC，所以∠1=∠2.又已知OB=OC，再由于OA是公共邊，所以△OAB≌△OAC（SAS），所以AB=AC.

五、旋轉模式

如圖5，△OAC繞點O逆時針方向旋轉角α（∠AOB=∠COD=α）就到了△OBD的位置.這類問題常用SAS證明．需要利用“等角+公共角=公共角+等角”的思路解題.比較難的題中往往有這種全等的模式.

例5如圖6，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，請說明AC=BD的理由．

解析：∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.再因為OA=OB，OC=OD，所以△OAC≌△OBD（SAS），所以AC=BD.

六、平移模式

把全等三角形沿某邊所在直線平移，便把對應邊都分成了兩部分，這時往往通過兩條線段加上或減去同一線段的方法得到對應邊相等．

例6如圖7，AC=DF，BC=EF，AD=EB，請說明∠C=∠F的理由．

解析：AD=EB，所以AD+DB=DB+EB，即AB=DE.再考慮到AC=DF，BC=EF，便可得到△ABC≌△DEF（SSS），所以∠C=∠F.