等腰三角形分類討論新策略——從角著手

等腰三角形問題常需分情況討論.按邊討論，這是較為常見的方法.下面舉兩個從角著手進(jìn)行討論的問題，以便讀者能從中體會出等腰三角形考題的命題新趨勢.

例1等腰△ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B．

分析：由于題中并未說明哪個角是頂角或底角，所以需分情況討論.我們可以先用含∠B的代數(shù)式表示∠A，用內(nèi)角和定理再求出∠C，然后再分別求出各種情況下的∠B．

解：設(shè)∠B=x.

∴∠A=2x-50°.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°-（2x-50°）-x=230°-3x.

當(dāng)AB=AC時，有∠B=∠C，得x=230°-3x，解得x=57.5°.

當(dāng)BA=BC時，有∠A=∠C，得2x-50°=230°-3x，解得x=56°.

當(dāng)CA=CB時，有∠A=∠B，得2x-50°=x，解得x=50°.

綜上所述，∠B為57.5°或56°或50°．

點(diǎn)評：本題要求的是等腰三角形的內(nèi)角，這類問題通常要分類討論．本題巧妙地采用設(shè)未知數(shù)的方法，使得三個角都能用含未知數(shù)的代數(shù)式來表示，再根據(jù)三角形頂角、底角的情況進(jìn)行分類討論．分類討論時，并不一定只有兩種情況.

例2△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形.請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．

分析：由于只知道過頂點(diǎn)B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，所以需要對兩個三角形分別分類討論.而每個三角形都有三種“等腰”的情況（每兩邊相等），故兩個三角形結(jié)合起來就有9種情況，但根據(jù)題目的具體要求，可把不合題意的排除掉.每一種情況中，要用含∠ABC或∠C的代數(shù)式表示三角形的其他的內(nèi)角.要重視“等腰三角形兩個底角相等”性質(zhì)的應(yīng)用，化簡后即得所求的關(guān)系.

解：設(shè)∠C=x，∠ABC=y，過點(diǎn)B的直線交AC邊于點(diǎn)D．在△DBC中：

（1）若∠C是頂角，如圖1，則∠CDB<90°，故∠ADB>90°.

∠CBD=∠CDB=1/2（180°-x）=90°-1/2x.

∠A=180°-x-y．

對△ABD來說，此時只能有∠A=∠ABD，故180°-x-y=y-90°-1/2x.

∴3x+4y=540°.∠ABC=135°-1/2∠C．

（2）若∠C是底角，則有兩種情況．

（ⅰ）如圖2，當(dāng)DB=DC時，則∠CBD=∠C=x.

△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．

①若AB=AD，得∠ADB=∠ABD，2x=y-x，此時有y=3x，故∠ABC=3∠C．

②若BA=BD，得∠A=∠ADB，180°-x-y=2x，此時3x+y=180°，故∠ABC=180°-3∠C．

③若DA=DB，得∠A=∠ABD，180°-x-y=y-x，此時y=90°，故∠ABC=90°.∠C為不大于45°的任意銳角（因∠C是最小的內(nèi)角）．

（ⅱ）如圖3，當(dāng)BD=BC時，∠BDC=∠C=x<90°，故∠ADB=180°-x>90°，此時只能有AD=BD.從而∠A=∠ABD=1/2∠BDC=1/2∠C<∠C.

這與題設(shè)中的∠C是最小內(nèi)角矛盾．

∴當(dāng)∠C是底角時，BD=BC不成立．

點(diǎn)評：本題是由無錫市2007年中考題的最后一題改編過來的，重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的兩底角相等、等腰三角形的分類討論等.事實(shí)上，同學(xué)們在做這道題時往往漏解，同時也有同學(xué)沒發(fā)現(xiàn)題中有兩大類存在∠ADB>90°的事實(shí)（能減小分類的數(shù)目），甚至因情況太多而沒耐心做下去.分類討論中，把不合題意的情形舍棄掉，是這道題給我們最大的啟示.