它們一定全等嗎

作者簡(jiǎn)介 陳德前，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，泰州市有突出貢獻(xiàn)的中青年專(zhuān)家，興化市教育局教研室副主任，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，江蘇省考試研究會(huì)會(huì)員，江蘇省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)委員會(huì)會(huì)員，泰州市教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育委員會(huì)會(huì)員，泰州市教育局教研室兼職教研員，興化市人民政府兼職督學(xué)，興化市教育學(xué)會(huì)副秘書(shū)長(zhǎng)．

我們已經(jīng)知道，要使兩個(gè)三角形全等，至少需要三個(gè)條件，而且其中至少要有一條邊對(duì)應(yīng)相等.那么，如果滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等（即SSA）”的條件，能判定兩個(gè)三角形全等嗎？

答案是：不一定！如圖1，在△ABC中，AB>AC.以A點(diǎn)為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)E．可以看到，在△ABC和△ABE中，雖然有∠B=∠B，AB=AB，AC=AE，但顯然△ABC和△ABE并不全等.這說(shuō)明，滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”條件的兩個(gè)三角形并不一定全等．

例在圖2中，∠BAC是鈍角，AB=AC.D、E分別在AB、AC上，CD=BE.試證明∠ADC=∠AEB．

錯(cuò)解：在△ADC和△AEB中，因?yàn)锳C=AB，CD=BE，∠BAE＝∠CAD（公共角），所以△ADC≌△AEB，所以∠ADC=∠AEB．

分析：這里的△ADC和△AEB滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件，屬于SSA的情況，我們不能直接判定它們?nèi)龋仨毻ㄟ^(guò)添加輔助線將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用全等三角形的判定方法來(lái)解決．

正解：如圖3，因?yàn)椤螧AC是鈍角，所以過(guò)B、C兩點(diǎn)分別作CA、BA的垂線，垂足分別為F、G．

易知有△ABF≌△ACG（AAS），所以BF=CG．又在Rt△BEF和Rt△CDG中，由BE=CD，所以Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）．所以∠GDC=∠BEF，即∠ADC=∠AEB．

那么，是不是滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件的兩個(gè)三角形一定不全等呢？也不是.如圖4，在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，它們滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件，由等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知，△ABD和△ACD全等．因此，我們只能說(shuō)，滿足“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”條件的兩個(gè)三角形不一定全等．

現(xiàn)在我們感興趣的是，如果已知兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，如何處理和安排這三個(gè)條件，才能使這兩個(gè)三角形全等呢？ 對(duì)于滿足條件“兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等”的三角形，實(shí)際上可以分為兩種情況：（1）兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等，即滿足SAS的條件，這時(shí)能判定它們?nèi)龋唬?）兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即滿足SSA的條件，則這兩個(gè)三角形不一定全等．對(duì)于（2），若加強(qiáng)其中的某個(gè)條件，就可以使這兩個(gè)三角形全等.這種情況下有眾多的方案.

方案1：若兩個(gè)三角形有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等．

方案1是說(shuō)，在兩個(gè)直角三角形中，有兩邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等．這是很明顯的，因?yàn)椋喝粢阎獌蛇吺侵苯沁叄瑒t根據(jù)SAS可知，這兩個(gè)三角形全等；若已知兩邊是一條直角邊和斜邊，則根據(jù)HL可知，這兩個(gè)三角形全等．因此無(wú)論哪種情況，這兩個(gè)三角形都全等．

方案2：若兩個(gè)三角形有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)這個(gè)角是鈍角時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等．

方案2是說(shuō)，在兩個(gè)鈍角三角形中，有兩邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等．如圖5，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE>90°，則△ABC≌△DEF．事實(shí)上，如圖5，過(guò)B、E分別作AC、DF的垂線，垂足為M、N，由∠ACB=∠DFE，得∠BCM=∠EFN.又BC=EF，所以Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS）．所以，BM=EN．再由HL可以證明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D.再證明△ABC≌△DEF就容易了．

方案3：若兩個(gè)三角形有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)這個(gè)角的對(duì)邊恰好是公共邊時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等．

方案3的正確性可以由圖6來(lái)證明．在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC，∠B=∠D.連接BD，則∠ABD=∠ADB．又∠ABC=∠ADC，所以∠CBD=∠CDB，所以BC=DC.再由SSS證明△ABC≌△ADC．

方案4：若兩個(gè)三角形有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)這個(gè)角的對(duì)邊恰好是這兩邊中的大邊時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等．

方案4的正確性可以這樣來(lái)證明：將兩個(gè)三角形的大邊重疊，使兩個(gè)三角形位于公共邊的兩側(cè)，如圖6，同上即可證明這兩個(gè)三角形全等．

方案5：若兩個(gè)三角形有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)這兩邊的夾角是鈍角時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等．

方案5是說(shuō)，在兩個(gè)鈍角三角形中，夾鈍角的兩邊對(duì)應(yīng)相等，另有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)三角形全等．如圖7，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ACB>90°，∠DFE>90°，∠A=∠D，則△ABC≌△DEF．事實(shí)上，分別過(guò)C、F作AB、DE的垂線，垂足分別為M、N，由∠A=∠D，AC=DF，可得Rt△ACM≌Rt△DFN（AAS），有CM=FN.再由BC=EF，根據(jù)HL可得Rt△BCM≌Rt△EFN，有∠B=∠E.再證明△ABC≌△DEF就容易了．