美麗的素數 偉大的證明

公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得證明素數（也叫質數）的數目是無窮的．2004年，英國劍橋大學數學教授格林和澳大利亞華裔數學家陶哲軒證明：存在任意長度的素數等差數列．他們的發現揭示了素數中存在的某種規律．

在數學家的眼中，素數是美麗的，就像原子之于化學家、DNA之于遺傳學家．素數是自然界中全部數的最基本的構成部分．那么究竟什么是素數呢？也許小學三年級的學生就能清楚地回答這個問題：在正整數中，除了1以外，只能被自身和1整除的數就是素數，比如2，3，5，7，11，13，17，….

美麗的素數

1，2，3，…是正整數，其他數如負數、有理數則都是以正整數為基礎定義的，所以，研究正整數的規律很重要．由于除1以外的任何一個正整數均可表示為素數或素數的乘積，而且這個表示是唯一的，所以，研究素數的性質非常重要．但是，要想得到一條關于素數的定理是相當不容易的．

陶哲軒和格林所證明的“存在任意長度的素數等差數列”，恰恰揭示了素數中存在的某種規律．

什么是等差數列呢？這是一個古老的數學課題．一個數列（指按照一定次序排列的一連串數，如4，9，25，36，49，…）從第2項起，若后一項減去前一項所得的差都是一個相同的常數，則這個數列就是等差數列．比如，1，3，5是由3個數構成的等差數列，后一項減去前一項所得的差是2；1，3，5，7則是由4個數構成的等差數列，后一項減去前一項所得的差也是2．

由素數構成的等差數列又被稱為素數等差數列．比如從5開始，以12為間隔常數，就可以得到數列5，17，29，41，53，65，….但對這個數列來說，只有前5個數是素數，因此，5，17，29，41，53是一個由5個素數構成的等差數列．因為65可以被5和13整除，不是素數，所以這個特定的素數等差數列不可能達到6項．

問題出現了：由其他素數構成的等差數列會更長嗎？答案是肯定的．比如，199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089就是由10個素數構成的間隔常數為210的等差數列．

事實上，數學家們一直猜想，由素數構成的等差數列可以任意長． 這個猜想已經提出很久了，以至于沒有人知道它最初是由誰提出來的．但是，在2004年以前，從來沒有數學家能夠證明這個猜想．

永不消失的素數

到目前為止，已經明確找出了由23個素數構成的等差數列，而且這還是通過當今世界上最先進的計算機找到的．這個數列的第一個數是56 211 383 760 397，數之間的間隔常數為44 546 738 095 860，數列的最后一個數是56 211 383 760 397 ＋ 44 546 738 095 860 × 22．僅僅看這些素數的大小，就知道找到它們是多么不容易了．

隨著自然數數值的增加，素數的分布變得越來越稀疏，因而要尋找這樣的素數等差數列就越來越困難．但是，素數是永遠不會徹底消失的，素數有無窮多個．

盡管在正整數中，素數看起來是以一種無規律的方式出現的，但在19世紀末，法國數學家哈達瑪達和比利時數學家法勒布賽曾指明：一種隱藏的規則存在于素數逐漸稀疏的背后．換言之，在看似混亂無序的素數中，一定存在著某種規律．

偉大的證明

有關素數等差數列猜想的第一個真正意義上的進展出現在1939年．當時，荷蘭的一位數學家證明：有無窮多個由3個素數構成的等差數列．

后來，著名數學家布朗證明，由前面3個素數和后面不超過2個素數的乘積構成的4個數的等差數列有無窮多個．

1975年，匈牙利數學家施米列迪證明了一個定理．簡單地解釋，這個定理的意思就是在任何不會快速稀疏的無窮的整數數列中，肯定會有任意長度的等差數列．但施米列迪定理不適合于素數，因為，隨著自然數數值的增加，素數會突然變得稀疏．

2002年，陶哲軒和格林這兩位數學家開始著手證明：有無窮多個由4個素數構成的等差數列．為了證明這個問題，他們用了兩年多時間分析施米列迪定理的4個完整證明．

陶哲軒說：“我們研究施米列迪定理并努力改進它，以便使它能解決素數的問題．為了實現這個目標，我們借用這4個證明方法來建造一個施米列迪定理的擴展版．每次當格林和我陷入困境時，其中某個證明方法的思想總能幫助我們解決問題．”

兩年后，格林和陶哲軒用一個非常漂亮的方法解決了問題，結果實在驚人．2004年4月18日，兩人宣布他們證明了“存在任意長度的素數等差數列”，也就是說，對于任意值k，存在由k個素數組成的等差數列．例如k ＝ 3，有素數數列3，5，7（間隔常數為2）；k ＝ 10，有素數數列199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089（間隔常數為210）．當然，對于比較大的k值，盡管現在還沒有具體找出相應的素數數列，但現在可以肯定地說，這樣的數列一定存在．

這是一項偉大的成就，他們的證明立即在國際學術界引起轟動． 隨后出版的美國《科學》雜志評論說：“兩位數學家用數論中一個令人眩暈的突破解決了一個難題．”

美國《發現》雜志則將格林和陶哲軒在素數方面的研究評為2004年100項最重要的發現之一．

中國數學家王元在評價他們的成就時，由衷地贊嘆道：“我一生都在研究數論，我不敢想象天下會有這樣偉大的成就！”

2006年8月22日，在第25屆國際數學家大會上，為了表彰陶哲軒的杰出貢獻，大會決定頒發給陶哲軒和其他三位年輕數學家有“數學界的諾貝爾獎”之稱的國際數學界最高獎——菲爾茨獎．

【責任編輯：潘彥坤】

擺線

擺線是數學中眾多的迷人曲線之一．它是這樣定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓周上一固定點所描出的軌跡稱為擺線．

擺線最早可見于公元1501年出版的C.鮑威爾的一本書中．17世紀，大批卓越的科學家（如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡兒、費馬、瓦里斯、約翰·伯努里、萊布尼茨、牛頓等）熱心于研究這一曲線的性質．經過大家的努力，人們發現擺線具有如下性質：

1．擺線一拱的長度等于旋轉圓直徑的4倍．尤為令人感興趣的是，它的長度是一個不依賴于π的有理數．

2．擺線一拱的弧線下的面積，是旋轉圓面積的3倍．

3．圓上描出擺線的那個點，具有不同的速度．

4．當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部．

在許多與擺線有連帶關系的令人迷惘的悖論中，火車悖論格外引人關注：在任一瞬間，一列移動的火車絕不可能整個地都朝機車拖動的方向移動．火車上總有一部分是朝火車運動的相反方向移動！