學會尋找解題突破口

對于一些看似復雜的問題，不少同學會選擇逃避.其實只要我們能掌握解決問題的技巧，就能化難為易.下面就向同學們介紹幾種尋找解題突破口的技巧.

一、 從簡單情況分析

“退到最簡單的情況，從最簡單的開始研究”，這在數學研究上為許多數學家所推崇，它是解決某些復雜問題時常采用的方法.先對簡單的情況進行分析，待發現規律后，再加以推廣.

例1 把2006加上它的，得到一個新數，再加上所得數的，又得到一個新數，再加上剛得到的新數的，又得到一個新數，依此類推；一直加到所得新數的，那么最后得到的數是多少？

思路分析：先從簡單的情況著手來尋找規律.

第一次相加的結果：2006＋2006×=2006＋1003；

第二次相加的結果：（2006＋1003）＋（2006＋1003）×=2006＋1003＋1003

=2006＋1003×2；

第三次相加的結果：2006＋1003×2＋（2006＋1003×2）×=2006＋1003×2

＋1003=2006＋1003×3；

再對其進行分析得出規律：第n次相加后的結果為2006＋1003n，且一直加到了所得新數的.則要加到所得新數的就需作2005次相加，即2006+1003×2005=2013021.

例2 計算（n為正整數）.

思路分析：（1）從簡單情況探索：

n=1，＝３；

n=2，=33；

n=3，=333；

……

歸納猜想：＝.

（2）證明猜想：

原式=

=

=

=

=.

二、從特殊情況分析

①對于一些一般性的問題，我們可以先研究其某些特殊情況，再逐步尋找解決途徑，使問題得以突破.

例3 甲、乙兩位同學玩一種撲克牌游戲，兩位同學手中各持A，2，3，…，10，J，Q，K牌13張，我們約定A為1，J，Q，K為11，12，13，若甲、乙各出1張牌，然后求出甲數與乙數的差，當13張牌全部出完，你能很快算出這13個差的和為多少嗎？

思路分析：（1）從特殊情況分析，假定甲、乙兩人每次出的牌都一樣，則每次的差為0，從而13個差的和為0.

（2）再去尋找一般性解答，將甲出的數依次記為a1，a2，…，a13，乙出的數依次記為b1，b2，…，b13，則（a1- b1）+（a2-b2）+…+（a13- b13）=（a1+a2+…+a13）-（b1+b2+…+b13），由題意得a1+a2+… +a13= b1+b2+…+b13，故13個差的和為0.

例4 如圖1，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，且邊長均為2cm，又點

E是正方形ABCD的中心，求這兩個正方形公共部分（圖中陰影部分）的面積S.

思路分析：（1）我們先考慮正方形EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形ABCD的各邊對應平行的情況（見圖2）.此時顯然有：S=×2×2=1 cm2.

（2）得出答案后，將這個問題還原到一般情況.過E點作AB和AD的垂線EN和EM，分別交AB、AD于N、M，則自然想到S△PME應等于S△QNE.從而設法去證明這兩個三角形全等.通過∠PEM=∠QEN（∠PEM+∠MEQ=∠MEQ+∠QEN=90°）、EM=EN、∠EMP=∠ENQ，可得△PME≌△QNE，故這兩個正方形的公共部分的面積等于1 cm2.

②把問題的某一條件引向極端加以考察，有時也能迅速發現問題的答案，再設法對一般情形進行分析，最終使問題得以解決.當然極端情況也是一種特殊情況.

例5甲乙兩市瀕臨長江，一只輪船往返其間，試問：該船在靜水中往返一次所需的時間長，還是在流水中往返一次所需的時間長，或者一樣長？

思路分析：（1）從極端情況分析.假設船逆水航行時，水速等于船速，則船永遠靜止不前，而無法到達目的地，所以在流水中往返一次所需的時間比在靜水中往返一次所需的時間長.

（2）對其進行推廣，設船速為V1，水速為V2（V2＜V1），則靜水中往返一次所需的時間為，流水中所需的時間為+==

=，因為＞0，且V1-＞0（V1＞V2），V1-＜V1，所以＞，即+＞，則船在流水中往返一次所需的時間較長.

例6 兩個人坐在一張普通的圓桌旁，一個人往桌上放一枚硬幣，隨后另一個人也往桌上放一枚同樣的硬幣.如此交替地繼續下去，彼此約定，每一枚硬幣都必須平放在桌子上，而且不準重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就是這場游戲的勝利者.如果由你來選擇，你是選擇先放還是后放呢？

思路分析：（1）假定這張桌子小得只能容納一枚硬幣，那么顯然先放的就獲勝了.

（2）將極端情況一般化.先放的人將一枚硬幣放在圓桌中心處，因此后放者只能沿這個硬幣的外側放下第二枚，由于圓桌成中心對稱，則先放者可將第三枚硬幣放在與第二枚硬幣成中心對稱的位置上.如此往復，所以先放者有必勝的把握.

總之，只要同學們有大膽嘗試的精神，再掌握一些解題技巧，難題也就迎刃而解了.