巧構相似三角形 妙證等積式

在證明結論是等積式（比例式）的幾何題時，若能根據題設和圖形特征，恰當添加輔助線，巧構相似三角形，借助其特殊性質，往往會迅速找到解題途徑.現舉幾例如下：

例1如圖1，在△ABC中，∠B=2∠C，試說明AC2=AB2+AB·BC.

分析：可將結論變形為 AC2=AB（AB+BC），故聯想到構造一條長等于AB+BC的線段.延長AB至D，使BD=BC，連接CD，構成共邊共角相似三角形，然后說明△ABC∽△ACD，從而使問題得以解決.

證明：延長AB至D，使BD=BC，連接CD，則∠BDC=∠BCD.又∠ABC=∠BDC+∠BCD，所以 ∠ABC=2∠BDC，又∠ABC=2∠ACB，所以∠ACB=∠BDC.

又∠CAB=∠DAC，

所以△ABC∽△ACD，得到AB ∶ AC=AC ∶ AD，即AC2=AB·AD=AB

·（AB+BD）=AB2+AB·BD=AB2+AB·BC.

例2如圖２，等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點D，試說明BC2=2AC· CD .

分析：同樣，結論可變形為BC2=AC· (2CD)， 故聯想到構造一條長等于2CD的線段，因此可延長CD至E，使DE=CD，連接BE，構成共邊共角相似三角形，然后說明△ABC∽△BEC，再列出比例式即可.

證明過程由同學們自己完成.

例3如圖3，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，試說明: ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ（ＡＢ＋ＡＣ）.

分析：由結論可聯想到構造一條長等于AB+AC的線段，從而延長BA至E，使AE=AC，連接CE，有AD∥CE，可得到 △ABD∽△EBC，列出比例式，再通過等量代換，使問題獲解.

解：延長BA至E，使AE=AC，連接CE.

由∠BAC=120°，得∠CAE=60°，又AE=AC，所以△ACE為等邊三角形，則EC=AC，且∠E

=∠BAD=60°，所以EC∥AD，從而△ABD∽△EBC，所以BA : BE=AD : EC，即 AB·EC=BE·AD，而EC=AC，BE=AB+AE=AB+AC，所以ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ（ＡＢ＋ＡＣ）.

例4如圖4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，FG垂直平分AD，交AB、AD及BC的延長線于點F、E、G，試說明DG2=CG·BG.

分析：由于DG、CG、BG三條線段在同一條直線上，它們之間的比例關系難以確定，可嘗試線段轉移、等量代換，使之成為兩個相似三角形的對應邊.由于題設中有FG是AD的垂直平分線，聯想到GA=GD，從而連接AG，構成共邊共角三角形，通過證明△ABG∽△CAG，可使問題獲解.

證明：連接AG，因為FG垂直平分AD，所以DG=AG，且∠ADG=∠DAG.又因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，又因為∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠ACG=∠DAC+∠ADG，所以∠BAG=∠ACG.

又∠BGA=∠AGC（公共角），所以△ABG∽△CAG，從而AG ∶ CG=BG ∶AG，即AG2=CG·BG，而DG=AG，所以DG2=CG·BG.